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१.५: श्रृंखला नियम - गणित


अब तक जो चर्चा की गई है उससे यह सोचना आकर्षक हो सकता है कि (sin,2x) जैसे फ़ंक्शन का व्युत्पन्न केवल (cos,2x) है, क्योंकि (sin ,x) (cos,x) है। यह पता चला है कि यह सही नहीं है:

[शुरू {गठबंधन} ddx,(sin,2x) ~&=~ ddx,(2;sin,x;cos,x) quad ext{(द्वारा साइन के लिए डबल-एंगल फॉर्मूला)}

[4pt] &=~ 2;ddx,(sin,x;cos,x) quad ext{(लगातार एकाधिक नियम द्वारा)}

[4pt] और=~ 2;बाएं(sin,x cdot ddx,(cos,x) ~+~ cos,x cdot ddx,(sin, x)दाएं) quad ext{(उत्पाद नियम द्वारा)}

[4pt] और=~ 2;बाएं(sin,x cdot (-sin,x) ~+~ cos,x cdot cos,x ight)

[4pt] और=~ 2;बाएं(cos^2 x ~-~ sin^2 x ight)

[4pt] &=~ 2;cos,2x quad ext{(cosine के लिए डबल-एंगल फॉर्मूला द्वारा)}end{aligned}] तो (sin,2x का व्युत्पन्न) ) (2,cos,2x) है, नहीं (cos,2x)।

दूसरे शब्दों में, आप (x) को (2x) से (sin,x) के व्युत्पन्न सूत्र में प्रतिस्थापित नहीं कर सकते। इसके बजाय, (sin,2x) को a . के रूप में मानें संयोजन दो कार्यों में से: साइन फ़ंक्शन और (2x) फ़ंक्शन। अर्थात्, मान लीजिए (f(u) = sin,u), जहां चर (u) स्वयं एक अन्य चर (x) के एक फलन का प्रतिनिधित्व करता है, अर्थात् (u(x) = 2x ) तो चूंकि (f) (u) का एक फ़ंक्शन है, और (u) (x) का एक फ़ंक्शन है, तो (f) (x) का एक फ़ंक्शन है, अर्थात् : (f(x) = sin,2x)। चूँकि (f) (u) का एक अवकलनीय फलन है, और (u) (x) का एक अवकलनीय फलन है, तो (dfdu) और (dudx) दोनों मौजूद हैं ((dfdu = cos,u) और (dudx = 2) के साथ), और डेरिवेटिव को गुणा करने से पता चलता है कि (f) (x) का एक अलग-अलग कार्य है:

[egin{aligned} frac{df}{cancel{du}} cdot frac{cancel{du}}{dx} ~&=~ dfdx quad ext{क्योंकि इनफिनिटसिमल्स $du$ रद्द करें, इसलिए}

[4pt] (cos,u) cdot 2 ~&=~ dfdx quadRightarrowquad dfdx ~=~ 2;cos,u ~=~ 2;cos,2x end{aligned}] उपरोक्त तर्क सामान्य रूप से मान्य है, और इसे के रूप में जाना जाता है श्रृंखला नियम: ध्यान दें कि प्रूफ़ कितना आसान है—इनफिनिटिमल्स (du) कैंसिल।24

चेन नियम को सहज रूप से समझ में आना चाहिए। उदाहरण के लिए, यदि (dfdu = 4) तो इसका मतलब है कि (f) (u) से 4 गुना तेजी से बढ़ रहा है, और यदि (dudx = 3) तो (u) है (x) की तुलना में 3 गुना तेजी से बढ़ रहा है, इसलिए कुल मिलाकर (f) को (12 = 4 cdot 3) गुना तेजी से (x) बढ़ना चाहिए, ठीक वैसे ही जैसे चेन नियम कहता है।

उदाहरण (PageIndex{1}): sinx2pxp1deriv

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समाधान

(f(x) = sin,(x^2 + x + 1)) का अवकलज ज्ञात कीजिए।

समाधान: एक बनाने का विचार है प्रतिस्थापन (u = x^2 + x + 1) ताकि (f(x) = sin,u)। श्रृंखला नियम द्वारा,

[शुरू {गठबंधन} dfdx ~&=~ dfdu cdot dudx

[4pt] &=~ ddu,(sin,u) ;cdot; ddx,(x^2 + x + 1)

[4pt] और=~ (cos,u) cdot (2x + 1)

[4pt] &=~ (2x + 1),cos,(x^2 + x + 1) end{aligned}] (u) को (u) के फंक्शन के रूप में बदलने के बाद ( x) अंतिम चरण में; व्युत्पन्न के लिए अंतिम उत्तर (x) के संदर्भ में होना चाहिए, न कि (u)।

श्रृंखला नियम में आप विचाराधीन फ़ंक्शन को "बाहरी" फ़ंक्शन (f) और "आंतरिक" फ़ंक्शन (u) की संरचना के रूप में सोच सकते हैं; पहले "बाहरी" फ़ंक्शन का व्युत्पन्न लें, फिर "आंतरिक" फ़ंक्शन के व्युत्पन्न से गुणा करें। "आंतरिक" फ़ंक्शन को एक बॉक्स के रूप में सोचें जिसमें आप (x) का कोई भी फ़ंक्शन डाल सकते हैं, और "बाहरी" फ़ंक्शन उस खाली बॉक्स का एक फ़ंक्शन है।

उदाहरण के लिए, पिछले उदाहरण में फ़ंक्शन (f(x) = sin,(x^2 + x + 1)) के लिए, "बाहरी" फ़ंक्शन को (sin,Box के रूप में सोचें ), जहां (Box = x^2 + x + 1) "आंतरिक" फ़ंक्शन है, ताकि

[शुरू {गठबंधन} f(x) ~&=~ sin,(x^2 + x + 1) &=~ sin,Box dfdx ~&=~ left( cos,Box ight) ;cdot; डीडीएक्स,बॉक्स

[4pt] और=~ बाएं(cos,setlength{fboxsep}{2pt}oxed{x^2 + x + 1} ight) ;cdot; ddx,setlength{fboxsep}{2pt}oxed{x^2 + x + 1}

[4pt] &=~ (2x + 1),cos,(x^2 + x + 1)end{aligned}]

उदाहरण (PageIndex{1}): chainrulepow

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समाधान

(f(x) = (2x^4 - 3cos,x)^{10}) का अवकलज ज्ञात कीजिए।

समाधान: यहां "बाहरी" फ़ंक्शन (f(Box) = Box^{10}) है और "आंतरिक" फ़ंक्शन (Box = u = 2x^4 - 3cos,x) है:

[dfdx ~=~ dfdu cdot dudx ~=~ 10,Box^9 ;cdot; ddx,(Box) ~=~ 10,(2x^4 - 3cos,x)^9 ;(8x^3 + 3sin,x)]

याद रखें कि दो कार्यों (f) और (g) की संरचना (f circ g) को ((f circ g)(x) = f(g(x)) के रूप में परिभाषित किया गया है। . प्राइम नोटेशन का उपयोग करते हुए चेन रूल को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

श्रृंखला नियम का उपयोग करते हुए, परिमेय संख्या वाले घातांक को शामिल करने के लिए शक्ति नियम को बढ़ाया जा सकता है:25 इसे सिद्ध करने के लिए, मान लीजिए (r = m/n), जहां (m) और (n) (n e 0) के साथ पूर्णांक हैं। फिर (y = x^r = x^{m/n} = left(x^m ight)^{1/n}), ताकि (y^n = x^m)। इस समीकरण के दोनों पक्षों के (x) के संबंध में अवकलज लेने पर प्राप्त होता है

[egin{aligned} ddx,left(y^n ight) ~&=~ ddx,left(x^m ight) quad ext{, इसलिए बाईं ओर का मूल्यांकन श्रृंखला नियम देता है}

[4pt] n y^{n-1} ;cdot; dydx ~&=~ m x^{m-1}

[4pt] n बाएं(x^{m/n}दाएं)^{n-1} ;cdot; dydx ~&=~ m x^{m-1}

[4pt] dydx ~&=~ frac{mx^{m-1}}{nx^{m - (m/n)}} ~=~ frac{m}{n},x^{ एम - 1 - (एम - (एम/एन))} ~=~ frac{m}{n},x^{(m/n) - 1} ~=~ r,x^{r-1 } quadcheckmarkend{aligned}]

उदाहरण (PageIndex{1}): derivsqrtx

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समाधान

(f(x) = sqrt{x}) का अवकलज ज्ञात कीजिए।

समाधान: चूंकि (sqrt{x} = x^{1/2}) तो पावर रूल द्वारा:

[dfdx ~=~ ddx,left(x^{1/2} ight) ~=~ frac{1}{2},x^{1/2 - 1} ~=~ फ़्रैक{1}{2},x^{-1/2} ~=~ frac{1}{2,sqrt{x}}]

उदाहरण (PageIndex{1}): deriv1oversqrtx

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समाधान

(f(x) = frac{2}{3sqrt{x}}) का अवकलज ज्ञात कीजिए।

[dfdx ~=~ ddx,left(frac{2}{3},x^{-1/2} ight) ~=~ frac{2}{3} cdot frac {-1}{2},x^{-3/2} ~=~ -frac{1}{3,x^{3/2}}]

[sec1dot5]

प्रश्न 1-18 के लिए दिए गए फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए।

2

(f(x) ~=~ (1 ~-~ 5x)^4)

(f(x) ~=~ 5,(x^3 ~+~ x ~-~ 1)^4)

2

(f(x) ~=~ sqrt{1 ~-~ 2x}vphantom

ParseError: ")" अपेक्षित (विवरण के लिए क्लिक करें)

कॉलस्टैक:पर (बुकशेल्फ़/कैलकुलस/बुक:_Elementary_Calculus_(Corral)/01:_The_Derivative/1.05:_The_Chain_Rule), /content/body/div/p[87]/span, लाइन 1, कॉलम 5

)

(f(x) ~=~ (1 ~-~ x^2)^{ frac{3}{2}})

2

(f(x) ~=~ dfrac{sqrt{x}}{x ~+~ 1})

(f(x) ~=~ dfrac{sqrt{x} ~+~ 1}{sqrt{x} ~-~ 1})

2

(f(t) ~=~ left(dfrac{1 ~-~ t}{1 ~+~ t} ight)^4vphantom{left(dfrac{x^2 ~+~ 1} {x ~-~ 1}दाएं)^6})

(f(x) ~=~ left(dfrac{x^2 ~+~ 1}{x ~-~ 1} ight)^6)

2

(f(x) ~=~ sin^2 x)

(f(x) ~=~ cos,बाएं(sqrt{x} ight))

2

(f(x) ~=~ 3 an,(5x))

(f(x) ~=~ A,cos,(omega x ~+~ phi)) ((A), (omega), (phi) स्थिरांक हैं )

2

(f(x) ~=~ sec,(x^2)vphantom{left(dfrac{1}{1 - x} ight)})

(f(x) ~=~ sin^2 left(dfrac{1}{1 - x} ight) ~+~ cos^2 left(dfrac{1}{1 - x} सही))

2

(L(eta) ~=~ dfrac{1}{sqrt{1 ~-~ eta^2}}vphantom{left(1 ~+~ left(dfrac{x - l}{) एस}दाएं)^2दाएं)^{-1}})

(f(x) ~=~ dfrac{1}{pi s}left(1 ~+~ left(dfrac{x - l}{s} ight)^2 ight)^{- 1}) ((s), (l) स्थिरांक हैं)

2

(f(x) ~=~ cos,(cos,x))

(f(x) ~=~ sqrt{1 ~+~ sqrt{x}})

[[1.]]

एक निश्चित प्रकार के इलेक्ट्रॉनिक सर्किट में26 NS कुल लाभ (A_v) द्वारा दिया गया है

[A_v ~=~ frac{A_o}{1 ~-~ T}] जहां लूप लाभ (T) a का एक कार्य है ओपन-लूप गेन (ए_ओ)।

  1. बताते हैं कि

    [frac{d egmedspace A_v}{d!A_o} ~=~ frac{1}{1 ~-~ T} ~-~ frac{A_o}{(1 ~-~ T)^2} frac{d egmedspace (1 - T)}{d!A_o} ~.]

  2. उस मामले में जहां (T) (A_o) के सीधे आनुपातिक है, इसे दिखाने के लिए भाग (ए) का उपयोग करें

    [frac{d egmedspace A_v}{d!A_o} ~=~ frac{1}{(1 ~-~ T)^2} ~.] (संकेत: पहले दिखाएँ कि (;A_o cdot frac{d egmedspace (1 - T)}{d!A_o} ~=~ -T)।)

दिखाएँ कि श्रृंखला नियम को 3 कार्यों तक बढ़ाया जा सकता है: यदि (u) (x) का एक भिन्न कार्य है, (v) (u) का एक भिन्न कार्य है, और (f ) (v) का एक अवकलनीय फलन है, तो

[dfdx ~=~ dfdv ;cdot; डीवीडी ;cdot; dudx] ताकि (f) (x) का एक अवकलनीय फलन हो। ध्यान दें कि 3 डेरिवेटिव एक साथ एक श्रृंखला में जुड़े हुए हैं (इसलिए नियम का नाम)। उपरोक्त तकनीक द्वारा श्रृंखला नियम को किसी भी सीमित संख्या में कार्यों तक बढ़ाया जा सकता है।

एक आंतरिक दहन इंजन में, जैसे ही पिस्टन नीचे की ओर बढ़ता है, कनेक्टिंग रॉड क्रैंक को दक्षिणावर्त दिशा में घुमाता है, जैसा कि नीचे चित्र [अंजीर: क्रैंक] में दिखाया गया है।27

बिंदु (A) केवल लंबवत गति कर सकता है, जिससे बिंदु (B) त्रिज्या के एक वृत्त के चारों ओर घूम सकता है (a) जो बिंदु (O) पर केंद्रित है, जो सीधे बिंदु ( के नीचे है। ए) और हिलता नहीं है। जैसे ही क्रैंक घूमता है, यह रेखा (overline{OA}) के साथ एक कोण ( heta) बनाता है। मान लीजिए (l = AB) और (s = OA) जैसा कि चित्र में है। मान लें कि सभी लंबाई सेंटीमीटर में मापी जाती है, और समय चर (t) को मिनटों में मापा जाता है।

  1. दिखाएँ कि (s ~=~ a cos, heta ~+~ left(l^2 ~-~ a^2 sin^2 heta ight)^{1/2}~) के लिए (0 ले थीटा ले पीआई )।
  2. NS माध्य पिस्टन गति (ar{S}_p = 2LN) है, जहां (L = 2a) है पिस्टन स्ट्रोक, और (N) the है घूर्णी वेग क्रैंक का, क्रांतियों प्रति मिनट (आरपीएम) में मापा जाता है। तात्कालिक पिस्टन वेग (S_p = dsdt) है। मान लीजिए (R = l/a)। दिखाएँ कि (0 le heta le pi) के लिए,

    [ABS{frac{S_p}{ar{S}_p}} ~=~ frac{pi}{2},sin, heta left[1 ~+~ frac{ cos, heta}{left(R^2 - sin^2 heta ight)^{1/2}} ight] ~~.]


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