सामग्री

3.7: कार्यों का परिचय


सीखने के मकसद

  • एक फ़ंक्शन को पहचानें।
  • किसी फंक्शन का डोमेन और रेंज बताइए।
  • फ़ंक्शन नोटेशन का उपयोग करें।

संबंध, कार्य, डोमेन और रेंज

सेट के बीच संबंध अक्सर रोजमर्रा की जिंदगी में होते हैं। उदाहरण के लिए, केप कैनावेरल में प्रत्येक माह के लिए, हम वर्षा की औसत मात्रा को संबद्ध कर सकते हैं। इस मामले में, वर्षा की मात्रा वर्ष के महीने पर निर्भर करती है, और डेटा को सारणीबद्ध रूप में या क्रमबद्ध जोड़े के सेट के रूप में लिखा जा सकता है।

महीनावर्षणमंगाए गए जोड़े
जनवरी२.४ इंच(जनवरी, २.४)
फ़रवरी3.3 इंच(फरवरी, 3.3)
जुलूस3.1 इंच(मार्च, ३.१)
अप्रैल2.0 इंच(अप्रैल, 2.0)
मई3.8 इंच(मई, 3.8)
जून6.8 इंच(जून, ६.८)
जुलाई8.1 इंच(जुलाई 8.1)
अगस्त7.6 इंच(अगस्त, 7.6)
सितंबर7.3 इंच(सितंबर, ७.३)
अक्टूबर4.1 इंच(अक्टूबर, ४.१)
नवंबर3.3 इंच(नवंबर, 3.3)
दिसंबर२.४ इंच(दिसंबर, २.४)
तालिका (PageIndex{1})

हम एक संबंध को क्रमबद्ध जोड़े के किसी भी सेट के रूप में परिभाषित करते हैं। आमतौर पर हम पहले कॉलम में रिलेशन के इंडिपेंडेंट कंपोनेंट को और दूसरे कॉलम में डिपेंडेंट कंपोनेंट को लिखते हैं। प्रारंभिक उदाहरण में, ध्यान दें कि वर्ष के महीने पर निर्भर वर्षा की औसत मात्रा को संबंधित करना समझ में आता है। संबंध के पहले कॉलम में सभी तत्वों के समूह को डोमेन कहा जाता है। दूसरे स्तम्भ की रचना करने वाले सभी तत्वों के समुच्चय को परास कहते हैं। इस उदाहरण में, डोमेन में वर्ष के सभी महीनों का समूह होता है, और श्रेणी में वे मान होते हैं जो प्रत्येक माह के लिए औसत वर्षा का प्रतिनिधित्व करते हैं।

बीजगणित के संदर्भ में, ब्याज के संबंध आयताकार निर्देशांक तल में क्रमबद्ध जोड़े ((x, y)) के सेट हैं। इस मामले में, (x)-मान डोमेन को परिभाषित करते हैं और (y)-मान श्रेणी को परिभाषित करते हैं। विशेष रुचि के संबंध ऐसे संबंध हैं जहां प्रत्येक (x)-मान ठीक एक (y)-मान से मेल खाता है; इन संबंधों को कार्य कहा जाता है।

उदाहरण (PageIndex{1})

निम्नलिखित संबंध का डोमेन और परिसर निर्धारित करें और बताएं कि यह एक फ़ंक्शन है या नहीं:

({(−1, 4), (0, 7), (2, 3), (3, 3), (4, −2)})

समाधान:

यहां हम डोमेन और रेंज को अलग करते हैं और तीरों के साथ मूल्यों के बीच पत्राचार को दर्शाते हैं।

चित्र (PageIndex{1})

उत्तर:

डोमेन ({−1, 0, 2, 3, 4}) है, और रेंज ({−2, 3, 4, 7}) है। संबंध एक फलन है क्योंकि प्रत्येक (x)-मान ठीक एक (y)-मान से मेल खाता है।

उदाहरण (PageIndex{2})

निम्नलिखित संबंध का डोमेन और परिसर निर्धारित करें और बताएं कि यह एक फ़ंक्शन है या नहीं:

({(−4, −3), (−2, 6), (0, 3), (3, 5), (3, 7)}).

समाधान:

चित्र (PageIndex{2})

उत्तर:

डोमेन ({−4, −2, 0, 3}) है, और रेंज ({−3, 3, 5, 6, 7}) है। यह संबंध एक फलन नहीं है क्योंकि (x)-मान (3) के दो संगत (y)-मान हैं।

पिछले उदाहरण में, संबंध एक फलन नहीं है क्योंकि इसमें समान (x)-मान, ((3, 5)) और ((3, 7)) के साथ क्रमित जोड़े शामिल हैं। हम फ़ंक्शंस को संबंधों के रूप में पहचान सकते हैं जहां कोई (x) -मान दोहराया नहीं जाता है।

बीजगणित में, (y=frac{3}{4}x−2) जैसे समीकरण संबंधों को परिभाषित करते हैं। इस रैखिक समीकरण को निम्न प्रकार से रेखांकन किया जा सकता है:

चित्र (PageIndex{3})

ग्राफ़ एक संबंध है क्योंकि यह (y=frac{3}{4}x−2) के क्रमित युग्म समाधानों के अनंत सेट का प्रतिनिधित्व करता है। डोमेन सभी (x)-मानों का समुच्चय है, और इस मामले में सभी वास्तविक संख्याएं शामिल हैं। रेंज सभी संभव (y)-मानों का समुच्चय है, और इस मामले में सभी वास्तविक संख्याएं भी शामिल हैं। इसके अलावा, ग्राफ़ एक फ़ंक्शन है क्योंकि प्रत्येक (x) -value के लिए केवल एक संगत (y) -value होता है। वास्तव में, कोई भी गैर-ऊर्ध्वाधर या गैर-क्षैतिज रेखा डोमेन और श्रेणी के साथ एक फ़ंक्शन है जिसमें सभी वास्तविक संख्याएं होती हैं।

कोई भी ग्राफ क्रमित युग्मों का एक समूह होता है और इस प्रकार एक संबंध को परिभाषित करता है। एक वृत्त के निम्नलिखित ग्राफ पर विचार करें:

चित्र (PageIndex{4})

यहाँ ग्राफ़ एक ऐसे संबंध का प्रतिनिधित्व करता है जहाँ कई (x) - डोमेन में मान दो y-मानों के संगत होते हैं। यदि हम एक ऊर्ध्वाधर रेखा खींचते हैं, जैसा कि सचित्र है, तो हम देख सकते हैं कि ((3, 2)) और ((3, −2)) समान (x)-मान वाले दो क्रमित जोड़े हैं। इसलिए, (x)-मान (3) दो (y)-मानों से मेल खाता है; इसलिए ग्राफ एक फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व नहीं करता है। उदाहरण से पता चलता है कि यदि कोई लंबवत रेखा एक ग्राफ को एक से अधिक बार काटती है, तो ग्राफ एक फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व नहीं करता है। इसे वर्टिकल लाइन टेस्ट कहा जाता है।

उदाहरण (PageIndex{3})

निम्नलिखित ग्राफ को देखते हुए, डोमेन और रेंज निर्धारित करें और बताएं कि यह एक फ़ंक्शन है या नहीं।

चित्र (PageIndex{5})

समाधान:

दी गई आकृति को परवलय कहा जाता है और यह अनिश्चित काल तक बाईं और दाईं ओर फैली हुई है जैसा कि तीरों द्वारा दर्शाया गया है। इससे पता चलता है कि यदि हम कोई (x) -मान चुनते हैं, तो हम ग्राफ पर एक संगत बिंदु खोजने में सक्षम होंगे; इसलिए, डोमेन में सभी वास्तविक संख्याएँ होती हैं। इसके अलावा, ग्राफ से पता चलता है कि (−1) न्यूनतम (y)-मान है, और इससे बड़ा कोई भी (y)-मान संबंध में दर्शाया गया है। इसलिए इस श्रेणी में सभी (y)-मान शामिल हैं जो (−1) से अधिक या बराबर हैं, या अंतराल संकेतन में, ([−1, ))।

चित्र (PageIndex{6})

अंत में, कोई भी लंबवत रेखा केवल एक बार ग्राफ को काटेगी; इसलिए, यह एक फ़ंक्शन है।

उत्तर:

डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ (R = (−∞, )) है, और परिसर ([−1, ∞)) है। ग्राफ एक फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व करता है क्योंकि यह लंबवत रेखा परीक्षण पास करता है।

व्यायाम (PageIndex{1})

ग्राफ को देखते हुए, डोमेन और रेंज निर्धारित करें और बताएं कि यह एक फ़ंक्शन है या नहीं:

चित्र (PageIndex{7})

उत्तर

डोमेन: ([−4, ∞)); रेंज: ((-∞, ∞)); समारोह: नहीं

फंक्शन नोटेशन और लीनियर फंक्शन्स

फ़ंक्शन की परिभाषा के साथ विशेष संकेतन आता है। यदि हम प्रत्येक (x) -value को वह इनपुट मानते हैं जो बिल्कुल एक आउटपुट उत्पन्न करता है, तो हम नोटेशन का उपयोग कर सकते हैं

[f(x)=y]

संकेतन (f(x)) (x) का "(f) पढ़ता है और गुणन के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए। बीजगणित के हमारे अधिकांश अध्ययन में कार्य शामिल हैं, इसलिए सामान्य कार्यों को करते समय अंकन बहुत उपयोगी हो जाता है। कार्यों को विभिन्न अक्षरों से नामित किया जा सकता है; फ़ंक्शंस के लिए कुछ सामान्य नाम हैं (g(x), h(x), C(x)), और (R(x))। सबसे पहले, गैर-ऊर्ध्वाधर रेखाओं पर विचार करें जिन्हें हम जानते हैं कि ढलान-अवरोधन रूप, (y=mx+b) का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है। किसी भी वास्तविक संख्या (m) और (b) के लिए, समीकरण एक फ़ंक्शन को परिभाषित करता है, और हम (y) को नए नोटेशन (f(x)) के साथ निम्नानुसार बदल सकते हैं:

[y=mx+b]

[f(x)=mx+b]

इसलिए, रैखिक फलन कोई भी फलन है जिसे (f(x)=mx+b) के रूप में लिखा जा सकता है। विशेष रूप से, हम निम्नलिखित लिख सकते हैं:

अंकन समीकरण में मूल्यांकन करने के लिए मान भी दिखाता है। यदि (x) के लिए मान (8) के रूप में दिया गया है, तो हम जानते हैं कि हम (x) के लिए (8) को प्रतिस्थापित करके और सरलीकृत करके संगत (y)-मान प्राप्त कर सकते हैं . फ़ंक्शन नोटेशन का उपयोग करते हुए, इसे (f(8)) दर्शाया जाता है और इसे निम्नानुसार व्याख्या किया जा सकता है:

अंत में, सरल करें:

हमारे पास (f(8)=4) है। यह संकेतन हमें बताता है कि जब (x = 8) (इनपुट), फ़ंक्शन का परिणाम (4) (उत्पादन).

उदाहरण (PageIndex{4})

रैखिक फलन (f(x)=−5x+7) को देखते हुए, (f(−2)) ज्ञात कीजिए।

समाधान:

इस मामले में, (f(−2)) इंगित करता है कि हमें मूल्यांकन करना चाहिए जब (x=−2)।

(egin{aligned} f(x)&=-5x+7 f(color{OliveGreen}{-2}color{black}{)}&=-5(color{OliveGreen}{- 2}रंग{काला}{)+7} औररंग{सेरुलियन}{बदलें:x:साथ:-2.} &=10+7 &=17 end{aligned} )

उत्तर:

(f(-2)=17)

उदाहरण (PageIndex{5})

रैखिक फलन (f(x)=−5x+7) को देखते हुए, (x) ज्ञात कीजिए जब (f(x)=10)।

समाधान:

इस मामले में, (f(x)=10) इंगित करता है कि फ़ंक्शन को (10) के बराबर सेट किया जाना चाहिए।

(egin{aligned} f(x)&=-5x+7 color{OliveGreen}{10}&=-5x+7 &color{Cerulean}{बदलें:f(x):के साथ :10.} 10color{Cerulean}{-7}&=-5x+7color{Cerulean}{-7}&color{Cerulean}{समाधान:for:x.} 3&=-5x frac{3}{color{Cerulean}{-5}}&=frac{-5x}{color{Cerulean}{-5}} -frac{3}{5} &=x end{गठबंधन})

उत्तर:

यहां (x=−frac{3}{5}), और हम (f(−frac{3}{5})=10) लिख सकते हैं।

उदाहरण (PageIndex{6})

एक रैखिक फलन (g(x)) के ग्राफ को देखते हुए,

  1. (g(2)) खोजें।
  2. (x) खोजें जब (g(x)=3)।

चित्र (PageIndex{8})

समाधान:

ए। संकेतन (g(2)) का अर्थ है कि (x = 2)। संबंधित (y)-मान निर्धारित करने के लिए ग्राफ़ का उपयोग करें।

चित्र (PageIndex{9})

बी। संकेतन (g(x)=3) का तात्पर्य है कि (y)-मान (3) के रूप में दिया गया है। संबंधित (x)-मान निर्धारित करने के लिए ग्राफ़ का उपयोग करें।

चित्र (PageIndex{10})

उत्तर:

  1. (जी(2)=1)
  2. (x=4)

उदाहरण (PageIndex{7})

रेखीय फलन (f(x)=−frac{5}{3}x+6) को रेखांकन करें और प्रांत और श्रेणी बताएं।

समाधान:

फलन से, हम देखते हैं कि (b = 6) और इस प्रकार (y)-प्रतिच्छेद ((0, 6)) है। साथ ही, हम देख सकते हैं कि ढलान (m=frac{−5}{3}=−frac{5}{3}=frac{rise}{run}) है। (y)-प्रतिच्छेद से शुरू करते हुए, एक दूसरे बिंदु को नीचे (5) इकाइयों और दाएं (3) इकाइयों को चिह्नित करें।

चित्र (PageIndex{11})

(x)-अक्ष पर किसी भी निर्देशांक को देखते हुए, हम ग्राफ पर एक संगत बिंदु पा सकते हैं; डोमेन में सभी वास्तविक संख्याएँ होती हैं। साथ ही, (y)-अक्ष पर किसी भी निर्देशांक के लिए, हम ग्राफ पर एक बिंदु पा सकते हैं; श्रेणी में सभी वास्तविक संख्याएँ होती हैं।

उत्तर:

डोमेन और रेंज दोनों में सभी वास्तविक संख्याएँ (R) होती हैं।

व्यायाम (PageIndex{2})

रैखिक फलन (g(x)=−x+5) को देखते हुए,

  1. (g(-frac{1}{2})) खोजें।
  2. (x) खोजें जब (g(x)=18)।
उत्तर

ए। (g(-frac{1}{2})=frac{1}{12})

बी। (x=-13)

चाबी छीन लेना

  • एक संबंध आदेशित जोड़े का कोई भी सेट है। हालांकि, इस पाठ्यक्रम के संदर्भ में, हम आयताकार समन्वय प्रणाली में क्रमबद्ध जोड़े ((x, y)) के सेट के साथ काम करेंगे। (x)-values ​​का सेट डोमेन को परिभाषित करता है और (y)-values ​​का सेट रेंज को परिभाषित करता है।
  • विशेष संबंध जहां प्रत्येक (x)-मान (इनपुट) ठीक एक (y)-मान से मेल खाती है (उत्पादन) फंक्शन कहलाते हैं।
  • हम आसानी से यह निर्धारित कर सकते हैं कि एक समीकरण अपने ग्राफ पर लंबवत रेखा परीक्षण करके एक फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व करता है या नहीं। यदि कोई लंबवत रेखा ग्राफ को एक से अधिक बार काटती है, तो ग्राफ एक फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व नहीं करता है। इस मामले में, समान (x) -मान के साथ एक से अधिक बिंदु होंगे।
  • कोई भी गैर-ऊर्ध्वाधर या गैर-क्षैतिज रेखा एक फ़ंक्शन है और इसे फ़ंक्शन नोटेशन (f(x)=mx+b) का उपयोग करके लिखा जा सकता है। डोमेन और रेंज दोनों में सभी वास्तविक संख्याएँ होती हैं।
    • यदि (f(a)) को खोजने के लिए कहा जाए, तो हम चर के लिए (a) को प्रतिस्थापित करते हैं और फिर सरल करते हैं।
    • यदि (x) खोजने के लिए कहा जाए जब (f(x)=a), तो हम फ़ंक्शन को (a) के बराबर सेट करते हैं और फिर (x) के लिए हल करते हैं।

व्यायाम (PageIndex{3}) कार्य

नीचे दी गई प्रत्येक समस्या के लिए, क्या पत्राचार एक फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व करता है?

  1. बीजगणित के छात्र पहली परीक्षा में अपने स्कोर के लिए।
  2. परिवार के सदस्य अपनी उम्र के लिए।
  3. अपने उपयोगकर्ताओं के लिए लैब कंप्यूटर।
  4. जिन स्कूलों में छात्रों ने भाग लिया है।
  5. लोगों को उनकी नागरिकता।
  6. कर्मचारियों की संख्या के लिए स्थानीय व्यवसाय।
उत्तर

1. हाँ

3. नहीं

5. नहीं

व्यायाम (PageIndex{4}) कार्य

डोमेन और रेंज निर्धारित करें और बताएं कि संबंध एक फ़ंक्शन है या नहीं।

  1. ({(3, 2), (5, 3), (7, 4)})
  2. ({(−5, −3), (0, 0), (5, 0)})
  3. ({(−10, 2), (−8, 1), (−8, 0)})
  4. ({(9, 12), (6, 6), (6, 3)})

5.

चित्र (PageIndex{12})

6.

चित्र (PageIndex{13})

7.

चित्र (PageIndex{1})4

8.

चित्र (PageIndex{15})

9.

चित्र (PageIndex{16})

10.

चित्र (PageIndex{17})

11.

चित्र (PageIndex{18})

12.

चित्र (PageIndex{19})

13.

चित्र (PageIndex{20})

14.

चित्र (PageIndex{21})

15.

चित्र (PageIndex{22})

16.

चित्र (PageIndex{23})

17.

चित्र (PageIndex{24})

18.

चित्र (PageIndex{25})

19.

चित्र (PageIndex{26})

20.

चित्र (PageIndex{27})

उत्तर

1. डोमेन: ({3, 5, 7}); रेंज: ({2, 3, 4}); समारोह: हाँ

3. डोमेन: ({−10,−8}); रेंज: ({0, 1, 2}); समारोह: नहीं

5. डोमेन: ({−4, −1, 2}); रेंज: ({1, 2, 3}); समारोह: हाँ

7. डोमेन: ({−2, 2}); रेंज: ({2, 3, 5}); समारोह: नहीं

9. डोमेन: ((-∞, ∞)); रेंज: ({2}); समारोह: हाँ

11. डोमेन: ((-∞, ∞)); रेंज: ((-∞, ∞)); समारोह: हाँ

13. डोमेन: ([−2, ∞)); रेंज: ((-∞, ∞)); समारोह: नहीं

15. डोमेन: ([−4, ∞)); रेंज: ([0, ∞)); समारोह: हाँ

17. डोमेन: ((-∞, ∞)); रेंज: ([0, ∞)); समारोह: हाँ

19. डोमेन: ((-∞, ∞)); रेंज: ([2, ∞)); समारोह: हाँ

व्यायाम (PageIndex{5}) फंक्शन नोटेशन

निम्नलिखित कार्यों को देखते हुए, फ़ंक्शन मान खोजें।

  1. (f(x)=3x), (f(−2)) खोजें।
  2. (f(x)=−5x+1), (f(−1)) खोजें।
  3. (f(x)=frac{3}{5}x−4), (f(15)) खोजें।
  4. (f(x)=frac{2}{5}x−frac{1}{5}), (f(3)) खोजें।
  5. (f(x)=frac{5}{2}x−frac{1}{3}), (f(−frac{1}{3})) खोजें।
  6. (f(x)=−6), (f(7)) खोजें।
  7. (g(x)=5), (g(−4)) खोजें।
  8. (g(x)=−5x), (g(−3)) खोजें।
  9. (g(x)=−frac{1}{8}x+frac{5}{8}), (g(frac{5}{8})) खोजें।
  10. (g(x)=frac{5}{3}x−5), (g(3)) खोजें।
  11. (f(x)=5x−9), (x) खोजें जब (f(x)=1)।
  12. (f(x)=−7x+2), (x) खोजें जब (f(x)=0)।
  13. (f(x)=−frac{7}{5}x−2), (x) खोजें जब (f(x)=−9)।
  14. (f(x)=−x−4), (x) खोजें जब (f(x)=12)।
  15. (g(x)=x), (x) खोजें जब (g(x)=12)।
  16. (g(x)=−x+1), (x) खोजें जब (g(x)=frac{2}{3})।
  17. (g(x)=−5x+frac{1}{3}), (x) खोजें जब (g(x)=−frac{1}{2})।
  18. (g(x)=−frac{5}{8}x+3), (x) खोजें जब (g(x)=3)।
उत्तर

1. (f(−2)=−6)

3. (f(15)=5)

5. (f(−frac{1}{3})=−frac{7}{6})

7. (g(−4)=5)

9. (g(frac{5}{8})=frac{35}{64})

11. (x=2)

13. (x=5)

15. (x=12)

17. (x=frac{1}{6})

व्यायाम (PageIndex{6}) फंक्शन नोटेशन

दिया गया (f(x)=frac{2}{3}x−1) और (g(x)=−3x+2) निम्नलिखित की गणना करें।

  1. (च(6))
  2. (f(−frac{1}{2}))
  3. (f(0))
  4. (च(1))
  5. (g(frac{2}{3}))
  6. (जी(0))
  7. (जी(−1))
  8. (g(−frac{1}{2}))
  9. (x) खोजें जब (f(x)=0)।
  10. (x) खोजें जब (f(x)=−3)।
  11. (x) खोजें जब (g(x)=−1)।
  12. (x) खोजें जब (g(x)=0)।
उत्तर

1. (f(6)=3)

3. (f(0)=−1)

5. (g(frac{2}{3})=0)

7. (g(−1)=5)

9. (x=frac{3}{2})

11. (x=1)

व्यायाम (PageIndex{7}) फंक्शन नोटेशन

ग्राफ को देखते हुए, फ़ंक्शन मान खोजें।

1. (f(x)) के ग्राफ को देखते हुए (f(−4), f(−1), f(0),) और (f(2)) ज्ञात कीजिए।

चित्र (PageIndex{28})

2. (g(x)) के ग्राफ को देखते हुए, (g(−3), g(−1), g(0),) और (g(1)) ज्ञात कीजिए।

चित्र (PageIndex{29})

3. (f(x)) के ग्राफ को देखते हुए (f(−4), f(−1), f(0),) और (f(2)) ज्ञात कीजिए।

चित्र (PageIndex{30})

4. (g(x)) के ग्राफ को देखते हुए, (g(−4), g(−1), g(0)), और (g(2)) ज्ञात कीजिए।

चित्र (PageIndex{31})

5. (f(x)) के ग्राफ को देखते हुए, (f(−1), f(0), f(1)), और (f(3)) ज्ञात कीजिए।

चित्र (PageIndex{32})

6. (g(x)) के ग्राफ को देखते हुए, (g(−2), g(0), g(2)), और (g(6)) ज्ञात कीजिए।

चित्र (PageIndex{33})

7. (g(x)) के ग्राफ को देखते हुए, (g(−4), g(−3), g(0)), और (g(4)) ज्ञात कीजिए।

चित्र (PageIndex{34})

8. (f(x)) के ग्राफ को देखते हुए, (f(−4), f(0), f(1),) और (f(3)) ज्ञात कीजिए।

चित्र (PageIndex{35})

उत्तर

1. (f(−4)=−3, f(−1)=0, f(0)=1,) और (f(2)=3)

3. (f(−4)=−4, f(−1)=−4, f(0)=−4,) और (f(2)=−4)

5. (f(−1)=1, f(0)=−2, f(1)=−3,) और (f(3)=1)

7. (g(−4)=0, g(−3)=1, g(0)=2,) और (g(4)=3)

व्यायाम (PageIndex{8}) फंक्शन नोटेशन

ग्राफ को देखते हुए, (x)-मान ज्ञात कीजिए।

1. (f(x)) के ग्राफ को देखते हुए, (x) ज्ञात कीजिए जब (f(x)=3, f(x)=1,) और (f(x)=−3 ).

चित्र (PageIndex{36})

2. (g(x)) के ग्राफ को देखते हुए, (x) खोजें जब (g(x)=−1, g(x)=0,) और (g(x)=1 ).

चित्र (PageIndex{37})

3. (f(x)) के ग्राफ को देखते हुए, (x) ज्ञात कीजिए जब (f(x)=3)।

चित्र (PageIndex{38})

4. (g(x)) के ग्राफ को देखते हुए, (x) खोजें जब (g(x)=−2, g(x)=0), और (g(x)=4 ).

चित्र (PageIndex{39})

5. (f(x)) के ग्राफ को देखते हुए, (x) ज्ञात कीजिए जब (f(x)=−16, f(x)=−12), और (f(x)= 0)।

चित्र (PageIndex{40})

6. (g(x)) के ग्राफ को देखते हुए, (x) खोजें जब (g(x)=−3, g(x)=0), और (g(x)=1 ).

चित्र (PageIndex{41})

7. (f(x)) के ग्राफ को देखते हुए, (x) ज्ञात कीजिए जब (f(x)=−4, f(x)=0), और (f(x)=− 2)।

चित्र (PageIndex{42})

8. (g(x)) के ग्राफ को देखते हुए, (x) खोजें जब (g(x)=5, g(x)=3), और (g(x)=2 )

चित्र (PageIndex{43})

9. कंपनी के लोगो के साथ पेन बनाने की डॉलर में लागत फ़ंक्शन (C(x)=1.65x+120) द्वारा दी गई है, जहां (x) उत्पादित पेन की संख्या है। (200) पेन बनाने की लागत की गणना करने के लिए फ़ंक्शन का उपयोग करें।

10. स्वेट शर्ट बेचने से डॉलर में होने वाला राजस्व फ़ंक्शन (R(x)=29.95x) द्वारा दिया जाता है, जहां (x) बेची गई स्वेट शर्ट की संख्या है। यदि (20) स्वेट शर्ट बेचे जाते हैं, तो आय का निर्धारण करने के लिए फ़ंक्शन का उपयोग करें।

11. डॉलर में एक नई कार का मूल्य फ़ंक्शन (V(t)=−2,500t+18,000) द्वारा दिया जाता है, जहां (t) वर्षों में कार की आयु का प्रतिनिधित्व करता है। जब कार 5 साल पुरानी हो तो उसका मूल्य निर्धारित करने के लिए फ़ंक्शन का उपयोग करें। नई होने पर कार का मूल्य क्या था?

12. एक कमीशन कार विक्रेता की डॉलर में मासिक आय फ़ंक्शन (I(n)=550n+1,250) द्वारा दी जाती है, जहां (n) महीने में बेची गई कारों की संख्या को दर्शाता है। सेल्समैन की मासिक आय निर्धारित करने के लिए फ़ंक्शन का उपयोग करें यदि वह इस महीने (3) कारें बेचता है। यदि वह एक महीने में कोई कार नहीं बेचता है तो उसकी आय क्या है?

13. (10) सेंटीमीटर मापने वाले आधार के साथ एक समद्विबाहु त्रिभुज का परिधि फ़ंक्शन (P(x)=2x+10) द्वारा दिया जाता है, जहां (x) प्रत्येक बराबर की लंबाई का प्रतिनिधित्व करता है पक्ष। यदि परिमाप (40) सेंटीमीटर है, तो प्रत्येक भुजा की लंबाई ज्ञात कीजिए।

14. एक वर्ग का परिमाप प्रत्येक भुजा (s) की लंबाई पर निर्भर करता है और इसे फलन (P(s)=4s) द्वारा प्रतिरूपित किया जाता है। यदि एक वर्ग का परिमाप (140) मीटर मापता है, तो प्रत्येक भुजा की लंबाई की गणना करने के लिए फ़ंक्शन का उपयोग करें।

15. एक निश्चित सेलुलर फोन योजना प्रति माह $(18) और उपयोग के प्रति मिनट $(0.10) शुल्क लेती है। योजना की लागत फ़ंक्शन (C(x)=0.10x+18) द्वारा तैयार की जाती है, जहां (x) प्रति माह उपयोग के मिनटों की संख्या को दर्शाता है। उपयोग के मिनट निर्धारित करें यदि महीने की लागत $(36) थी।

16. एक ट्यूटरिंग वेबसाइट पर सब्सक्रिप्शन बेचकर उत्पन्न मासिक राजस्व फ़ंक्शन (R(x)=29x) द्वारा दिया जाता है, जहां (x) प्रति माह सदस्यता बिक्री की संख्या का प्रतिनिधित्व करता है। यदि महीने की कुल आय $(1,508) थी, तो कितनी सदस्यताएँ बेची गईं?

उत्तर

1. (f(−1)=3, f(0)=1,) और (f(2)=−3)

3. (f(1)=3) (उत्तर भिन्न हो सकते हैं)

5. (f(−4)=−16); (f(−6)=−12) और (f(−2)=−12); (f(−8)=0) और (f(0)=0)

7. (f(−4)=−4) और (f(4)=−4); (f(0)=0); (f(−2)=−2) और (f(2)=−2)

9. $(450)

11. नया: $(18,000); 5 साल पुराना: $(5,500)

13. (15) सेंटीमीटर

15. (180) मिनट

व्यायाम (PageIndex{9}) फंक्शन नोटेशन

रेखीय फलन को आलेखित करें और प्रांत और श्रेणी का उल्लेख करें।

  1. (f(x)=−frac{5}{2}x+10)
  2. (f(x)=frac{3}{5}x−10)
  3. (g(x)=6x+2)
  4. (g(x)=−4x+6)
  5. (h(t)=frac{1}{2}t−3)
  6. (h(t)=−frac{3}{4}t+3)
  7. (सी(एक्स)=100+50x)
  8. (सी(एक्स)=50+100x)
उत्तर

1. डोमेन और रेंज: (R)

चित्र (PageIndex{44})

3. डोमेन और रेंज: (R)

चित्र (PageIndex{45})

5. डोमेन और रेंज: (R)

चित्र (PageIndex{46})

7. डोमेन और रेंज: (R)

चित्र (PageIndex{47})

अभ्यास (PageIndex{10}) चर्चा बोर्ड के विषय

  1. क्या एक लंबवत रेखा एक कार्य है? एक लंबवत रेखा का डोमेन और रेंज क्या है?
  2. क्या एक क्षैतिज रेखा एक कार्य है? क्षैतिज रेखा का डोमेन और परास क्या है?
  3. वास्तविक दुनिया के सेटों के बीच अपने स्वयं के पत्राचार के साथ आएं। बताएं कि यह किसी फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व क्यों करता है या नहीं करता है।
  4. क्या किसी फ़ंक्शन में एक से अधिक (y)-अवरोधन हो सकते हैं? समझाना।
उत्तर

1. उत्तर भिन्न हो सकते हैं

3. उत्तर भिन्न हो सकते हैं


सिम्युलेटेड () फ़ंक्शन का उपयोग सिम्युलेटेड डेटासेट और संबंधित चर निर्दिष्ट करने के लिए किया जाता है। सिम्युलेटेड () का उपयोग करने के लिए दो तर्कों की आवश्यकता होती है। चूंकि प्रेक्षित () फ़ंक्शन के बाद फ़ंक्शन "पाइप" किया गया है, पहला तर्क tidyvpcobj है और इसे शामिल नहीं किया जाना चाहिए, इसके बाद नकली डेटा का नाम, फिर सिम्युलेटेड डेटा में y-चर का नाम। चर नामों को उद्धृत नहीं किया जाना चाहिए और एक्स-चर शामिल नहीं किया जाना चाहिए क्योंकि इसे मनाया () फ़ंक्शन से पुनर्नवीनीकरण किया जाता है।

बिनिंग () फ़ंक्शन वीपीसी प्राप्त करने के लिए बिनिंग विधि प्रदान करता है और इसे बिन तर्क में एक वर्ण स्ट्रिंग के रूप में इनपुट किया जाना चाहिए। बिनिंग विधियों में शामिल हैं: "एनटाइल", "पैम", "एसडी", "बराबर", "सुंदर", "क्वांटाइल", "केमीन्स", "जेनक्स", "सेंटर", "ब्रेक्स"। "ntile" और "pam" जैसी कुछ विधियों के लिए आपको nbins तर्क अर्थात nbins = 9 का उपयोग करके बिन्स की संख्या निर्दिष्ट करने की आवश्यकता होगी।

यदि बिन = "केंद्र" या बिन स्रोत कोड का उपयोग कर रहे हैं>


कार्यों और मॉड्यूल का परिचय

यदि आप एक ही एक्सप्रेशन का मूल्यांकन करने जा रहे हैं या किसी प्रोग्राम में कई बार ऑपरेशन के एक ही क्रम को निष्पादित करने जा रहे हैं, तो एक ही कोड को फिर से टाइप करना थकाऊ और त्रुटि-प्रवण होगा। किसी फ़ंक्शन को परिभाषित करना अधिक कुशल है। फ़ंक्शंस आपके कोड को बेहतर संरचित बना सकते हैं, जिसका अर्थ है लिखना, समझना और सही करना आसान।
एक साधारण बहुपद का मूल्यांकन करने के लिए पायथन फ़ंक्शन का उपयोग करने का तरीका इस प्रकार है:

फ़ंक्शन परिभाषा के तत्वों पर ध्यान दें। हम कीवर्ड से शुरू करते हैं डीईएफ़ समारोह के नाम के बाद (इस मामले में एफ) गोल कोष्ठक में () हम फ़ंक्शन के लिए पैरामीटर प्रदान करते हैं: ये वे चर हैं जिनका फ़ंक्शन उपयोग करेगा। इस मामले में एक्स फ़ंक्शन को दिया गया एकमात्र पैरामीटर है। परिभाषा रेखा एक बृहदान्त्र के साथ समाप्त होती है और फ़ंक्शन का शरीर इंडेंट होता है।

इंडेंटिंग फ़ंक्शन के शरीर को एक नए ब्लॉक में रखता है (ब्लॉक के बारे में अधिक जानकारी के लिए पायथन संदर्भ देखें)। समारोह के शरीर में हमारे पास है a वापसी बयान। पिछले कोड में जो हासिल किया गया था, उसे सचमुच वापस लौटाता है या आउटपुट करता है और ब्लॉक को समाप्त करता है। किसी फ़ंक्शन में एक से अधिक रिटर्न स्टेटमेंट रखने की अनुमति है, लेकिन जैसे ही उनमें से एक गोल्डन रूल तक पहुँचता है, फ़ंक्शन निष्पादित करना बंद कर देगा, प्रति ब्लॉक अधिकतम एक रिटर्न स्टेटमेंट होना चाहिए। हम बाद में एक अधिक जटिल फंक्शन देखेंगे जिसमें फंक्शन बॉडी के अंदर एक और ब्लॉक होगा और एक के बजाय दो रिटर्न स्टेटमेंट होंगे।

हम किसी वेरिएबल पर फंक्शन कहते हैं एक्स हमारे कोड में बस टाइप करके एफ (एक्स) इसके बाद पायथन रिटर्न स्टेटमेंट के बजाय वैल्यू को बदल देगा एफ (एक्स):

हमें कार्यों के लिए सही प्रकार के मापदंडों को पारित करने के लिए सावधान रहना चाहिए, उदाहरण के लिए, a पास करना एसटीआर प्रति एफ एक त्रुटि का परिणाम होगा:

बेशक, हमारे द्वारा परिभाषित फ़ंक्शन पहले परिभाषित कुछ अन्य कार्यों का उपयोग कर सकता है। मान लीजिए कि हमने पहले से ही एक फ़ंक्शन को परिभाषित किया है जिसे कहा जाता है पावर 3 (एक्स) और एक और कहा जाता है गुणा (एक्स, वाई):

ध्यान दें कि फ़ंक्शन गुणा दो पैरामीटर लेता है, और ये फ़ंक्शन परिभाषा में अल्पविराम से अलग होते हैं। एक समारोह जी की सहायता से लिखा जा सकता है शक्ति3 तथा गुणा:

कुछ लोग कह सकते हैं कि ऐसा करने का यह एक कठिन तरीका है। वास्तव में, जटिल, अक्सर होने वाले कोड के विकल्प के रूप में फ़ंक्शंस का उपयोग करना ही उपयोगी होता है। फ़ंक्शन को परिभाषित करना समझदारी नहीं है शक्ति3 जब हम आसानी से लिख सकते थे एक्स3 इसके स्थान पर जब भी हमें आवश्यकता हो। फ़ंक्शन का एक और अधिक जटिल उदाहरण यहां दिया गया है:

फंक्शन बॉडी की शुरुआत में कमेंट को a . कहा जाता है डॉकस्ट्रिंग और यह बताता है कि फ़ंक्शन आपके कोड को पढ़ने वाले किसी भी व्यक्ति के लिए क्या करता है। जब कोई उपयोगकर्ता आपके फ़ंक्शन पर सहायता विधि को कॉल करता है तो डॉकस्ट्रिंग प्रदर्शित की जाएगी। डॉकस्ट्रिंग के बिना सभी कार्यों के लिए डॉकस्ट्रिंग लिखना महत्वपूर्ण है, यह पता लगाने में कुछ समय लगेगा कि यह उदाहरण फ़ंक्शन क्या करता है!
ध्यान दें कि इस फ़ंक्शन में दो रिटर्न स्टेटमेंट हैं। यह ठीक है, क्योंकि उनमें से एक हमेशा दूसरे से पहले पहुंच जाएगा। जैसे ही यह रिटर्न स्टेटमेंट तक पहुंचता है, फ़ंक्शन निष्पादित करना बंद कर देता है, और लौटाया गया मान केवल उस कथन से होगा। एक फ़ंक्शन में कोई रिटर्न स्टेटमेंट भी नहीं हो सकता है, इस मामले में फ़ंक्शन बॉडी में सभी कोड निष्पादित होने के बाद यह निष्पादित करना बंद कर देता है। इस मामले में, फ़ंक्शन तब भी कुछ करेगा जब हम इसे कॉल करते हैं, लेकिन यह कोई मान नहीं लौटाएगा:

ध्यान दें कि इसमें कोई मान संग्रहीत नहीं किया गया था एक्स, क्योंकि हमारे फ़ंक्शन ने कोई मान नहीं लौटाया! हमें इसके साथ बहुत सावधान रहना चाहिए क्योंकि यह त्रुटियों का कारण बन सकता है पायथन हमें यह नहीं बताएगा कि फ़ंक्शन एक मान वापस नहीं करता है, इसके बजाय यह किसी भी मूल्य को स्टोर नहीं करेगा एक्स.

पिछली गतिविधियों में से एक में, आपको त्रिज्या की एक गोलाकार कक्षा की कक्षीय अवधि वापस करने के लिए कहा गया था आर एक विशाल पिंड के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में एक कण का एम. हमने इसे सामान्य कोड के रूप में लिखा था, लेकिन इसे एक फ़ंक्शन में इनकैप्सुलेट करना अधिक प्रभावी है, इसलिए हम इसे जब चाहें तब उपयोग कर सकते हैं, बिना इसे फिर से टाइप किए। एक फ़ंक्शन अवधि लिखें जो पैरामीटर लेती है एम तथा आर और अवधि लौटाता है। समाधान:समाधान_गतिविधि_1.pdf

2. मॉड्यूल और गणितीय कार्य आयात करना

हम फ़ंक्शंस के संग्रह को एक अलग फ़ाइल में सहेज सकते हैं अन्य प्रोग्राम में उपयोग करने के लिए हम लिखते हैं ऐसे कार्यों के संग्रह को a . कहा जाता है मापांक. आप फ़ंक्शन को सहेज सकते हैं एफ (एक्स) इसे दे रहा हूँ .py प्रत्यय चलो इसे कहते हैं क्यूबिकपॉली.py. यदि इसे बाद में मॉड्यूल के रूप में उपयोग किया जाना है, तो पायथन को फ़ाइल का पता लगाना होगा। पायथन पहले वर्तमान निर्देशिका में खोज करता है और फिर खोज पथ नामक निर्देशिकाओं की सूची में खोज करता है। यदि आप अंतःक्रियात्मक रूप से पायथन चला रहे हैं, तो यह इतना स्पष्ट नहीं हो सकता है कि खोज पथ क्या है। आप टाइप करके पता कर सकते हैं:

यदि इसमें वह निर्देशिका नहीं है जो आप चाहते हैं, तो आप उस निर्देशिका से एक मॉड्यूल आयात करने का प्रयास करने से पहले, इस सूची में निर्देशिका नाम वाली एक स्ट्रिंग जोड़ सकते हैं। उदाहरण के लिए, आपके द्वारा टाइप किए गए पथ में Windows C ड्राइव जोड़ने के लिए:

अब, पायथन शेल विंडो में आपको मॉड्यूल आयात करने और अपने फ़ंक्शन का उपयोग करने में सक्षम होना चाहिए:

पायथन x = 3 के लिए फ़ंक्शन का मूल्यांकन करेगा।
मानक गणितीय कार्य जैसे पाप, लॉग, वर्ग आदि मूल भाषा का हिस्सा नहीं हैं, लेकिन मानक पुस्तकालय द्वारा प्रदान किए जाते हैं गणित मापांक। एक प्रोग्राम में एक उदाहरण के रूप में गणित का उपयोग करते हुए, मॉड्यूल का उपयोग करने का तरीका यहां दिया गया है:

  • ध्यान दें कि हमें यह निर्दिष्ट करना होगा कि sin math.sin टाइप करके गणित मॉड्यूल से आता है। यदि हम नहीं करते हैं, तो पायथन भ्रमित हो जाएगा और एक त्रुटि लौटाएगा।
  • संक्षिप्ताक्षरों का प्रयोग करें:
  • यह उदाहरण यह भी दर्शाता है कि गणित मॉड्यूल में के लिए एक उपनाम है, जिसे कहा जाता है अनुकरणीय सामान्य तौर पर कोड में, हम अपने द्वारा बनाए गए मॉड्यूल में चर शामिल कर सकते हैं।
  • उन वस्तुओं को आयात करें जिनकी आपको स्पष्ट रूप से आवश्यकता है:

आप "वाइल्डकार्ड" * का उपयोग करके मॉड्यूल से सभी ऑब्जेक्ट आयात कर सकते हैं:

NS आयात * फॉर्म बहुत शक्तिशाली और उपयोगी है, लेकिन इसका एक नकारात्मक पहलू है: आप समान नामों के साथ लेकिन विभिन्न मॉड्यूल से अलग-अलग प्रभावों के साथ फ़ंक्शन आयात कर सकते हैं। आयात की गई अंतिम परिभाषा को प्राथमिकता दी जाएगी। कई अलग-अलग मॉड्यूल आयात करते समय, * से बचना सबसे अच्छा है जब तक कि आप पूरी तरह से निश्चित न हों कि फ़ंक्शन नामों में कोई ओवरलैप नहीं होगा।

कभी-कभी हम उन फ़ाइलों (मॉड्यूल) को आयात करेंगे जिनमें फ़ंक्शन और चर परिभाषाओं से अलग उनमें अतिरिक्त कोड होता है (शायद मॉड्यूल में फ़ंक्शन का परीक्षण करने के लिए उपयोग किया जाने वाला कोड, या कुछ और)। यह कोड हमेशा आयात करने पर निष्पादित होगा, जो कि कुछ ऐसा है जो हम नहीं चाहते हैं। एक नियम के रूप में, किसी फ़ाइल में कोई अतिरिक्त कोड जिसे किसी अन्य प्रोग्राम में आयात किया जाएगा, उसे निम्नलिखित निर्माण में संलग्न किया जाना चाहिए:

यह सुनिश्चित करता है कि कोड का ब्लॉक केवल तभी निष्पादित होता है जब हम उस फ़ाइल को सीधे चलाते हैं (इसे "मुख्य" फ़ाइल बनाते हैं)। यदि इसे किसी अन्य फ़ाइल में आयात किया जाता है और हम इसे चलाते हैं, तो कोड निष्पादित नहीं होगा।


पाठ समारोह

उलटा कार्य यहां शामिल नहीं हैं।
उन पर एक अलग पाठ होगा जिसका शीर्षक होगा उलटा कार्य।

यहां जो कुछ कवर किया गया है, वह निम्नलिखित वेब पते से आता है:

यदि आप बहुत सारे उदाहरणों और अभ्यास समस्याओं के साथ कार्यों और उलटा कार्यों पर एक विस्तृत ट्यूटोरियल चाहते हैं, तो वहां जाएं।

वहाँ बहुत सारे अन्य ट्यूटोरियल हैं।

यहां उनमें से कुछ की सूची दी गई है।

एक आदेशित जोड़ी की परिभाषा

एक क्रमित युग्म (x,y) मानों का एक समुच्चय होगा जहाँ x स्वतंत्र चर है, और y आश्रित चर है।
इसका मतलब यह है कि यदि आप सभी संभावित x मानों के सेट में कोई x मान चुनते हैं, तो y मान समीकरण या नियम में उस x मान पर निर्भर होगा जो उस x मान को y मान से जोड़ता है।

मान लीजिए कि एक समीकरण y = है
x के प्रत्येक मान के लिए, आपके पास y का मान है जो समीकरण में x के उस मान पर निर्भर है।
अगर एक्स = 5, वाई = 25
यदि x = 6, y = 36, आदि।
इस संबंध या फलन में क्रमित युग्म होगा
(एक्स, वाई) = (5,25)
(एक्स, वाई) = (6,36), आदि।

क्रमबद्ध जोड़े रेखांकन में उपयोगी होते हैं, जहाँ आपके पास एक x-अक्ष (क्षैतिज रेखा), और एक y-अक्ष (ऊर्ध्वाधर रेखा) होता है।
x-अक्ष एक क्षैतिज रेखा खींची जाती है जहाँ x = 0 का मान होता है।
y-अक्ष एक लंबवत रेखा खींची जाती है जहाँ y = 0 का मान होता है।
ग्राफ पर बिंदु (x, y) x के मान और y के मान से निम्न प्रकार से संबंधित है:

मान लीजिए x = 3
माना y = 7
बिंदु (3,7) x = 0 के दाईं ओर माप की 3 इकाइयाँ हैं, और y = 0 के ऊपर माप की 7 इकाइयाँ हैं।

मान लीजिए x = -2
माना y = -3
बिंदु (-2, -3) x = 0 के बाईं ओर माप की 2 इकाइयाँ हैं, और y = 0 के नीचे माप की 3 इकाइयाँ हैं

इन 2 बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा के लिए एक समीकरण होगा:
ये दोनों बिंदु उस रेखा पर होंगे।

उस समीकरण से जुड़ा क्रमित युग्म होगा:
(एक्स, वाई) = (एक्स, (2 * एक्स + 1))
x मान x है।
y मान 2*x+1 . है

उस समीकरण का एक ग्राफ इस तरह दिखेगा:

एक रिलेशन ऑर्डर किए गए जोड़े का एक सेट है जहां ऑर्डर किए गए जोड़े के पहले घटक इनपुट मान होते हैं और दूसरा घटक आउटपुट मान होते हैं

एक संबंध में, आपके पास प्रत्येक x मान के लिए कई y मान हो सकते हैं।
उदाहरण:

वाई = +/-
x के प्रत्येक मान के लिए y +/- हो सकता है
मान लीजिए x = 25, तो:
y +5 हो सकता है और y - 5 हो सकता है।
y के लिए दोनों मान अच्छे हैं क्योंकि:
= 25 और = 25

इस संबंध में क्रमित जोड़े जब x = 25 होगा:
(25,5)
(25,-5)

एक फ़ंक्शन एक संबंध है जो प्रत्येक इनपुट नंबर को डोमेन में x के प्रत्येक मान के लिए बिल्कुल एक आउटपुट मान प्रदान करता है।

जबकि एक संबंध प्रत्येक x के लिए कई y मानों की अनुमति देता है, एक फ़ंक्शन के लिए आवश्यक है कि केवल एक ही हो। यदि समीकरण के प्रांत में किसी एक मान के साथ एक से अधिक y मान जुड़ा हुआ है, तो समीकरण एक संबंध है न कि एक फलन।

डोमेन उन सभी इनपुट मानों का समुच्चय है जिन पर नियम या समीकरण लागू होता है। इन इनपुट मानों को आपके स्वतंत्र चर कहा जाता है। ये वे मान हैं जो क्रमित युग्मों के पहले घटक के संगत होते हैं जिनसे यह जुड़ा होता है। डोमेन में x का मान श्रेणी में y के संगत मान के साथ संबद्ध होना चाहिए।

रेंज सभी आउटपुट मानों का सेट है। ये आपके आश्रित चर कहलाते हैं। ये वे मान हैं जो क्रमित युग्मों में दूसरे घटक के संगत होते हैं जिनसे यह जुड़ा होता है। डोमेन में x के प्रत्येक मान के लिए, श्रेणी में y का कम से कम एक मान होगा।

कृपया ध्यान दें कि x या y के मान केवल वास्तविक मान दर्शाते हैं।
अनंत एक वास्तविक मूल्य नहीं है क्योंकि ऐसा कोई मूल्य नहीं है जो इसका प्रतिनिधित्व कर सके। आप उसके पास जा सकते हैं लेकिन आप उस तक कभी नहीं पहुंच पाएंगे।
एक ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल वास्तविक मान नहीं है क्योंकि यह एक काल्पनिक मान है जो वास्तविक मानों के समुच्चय का भाग नहीं है।

आपके पास एक समीकरण है, जैसे y =
यदि आप y को f(x) से प्रतिस्थापित करते हैं, तो समीकरण f(x) = . जैसा दिखता है
आप कह सकते हैं y = f(x) = , या बस f(x) = या बस y =
आप जो कह रहे हैं वह यह है कि y x का एक फलन है जहाँ y का मान समीकरण में x के मान पर निर्भर करता है।
x स्वतंत्र चर है
y आश्रित चर है

उदाहरण:
y का मान क्या है जब x 3 है?
चूँकि y = f(x) = , तो जब x का मान = 3,
y = f(3) = = ९ + २ = ११.
क्रमित युग्म (3,11) होगा।

कार्यात्मक संकेतन किसी भी अक्षर का उपयोग कर सकता है, न कि केवल f।
एफ (एक्स) =
जी (एक्स) =
एच (एक्स) =
मैं (एक्स) =
ये सभी अक्षर x के एक फलन का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं जो इस मामले में बराबर है।

फलन किसी भी स्वतंत्र चर के फलन हो सकते हैं।
f(x) x का एक फलन है।
f(t) t का एक फलन है।
A(r) एक वृत्त की त्रिज्या का एक फलन है। A,क्षेत्र के लिए खड़ा है। आपका समीकरण होगा:

तुम कह सकते हो
या आप कह सकते हैं
या आप कह सकते हैं
आउटपुट चर और इनपुट चर के बीच समान समीकरण या संबंध लागू होते हैं।
आदेशित जोड़े निम्न में से किसी की तरह दिख सकते हैं:
(आर, वाई)
(आर, ए (आर))
(आर,)
(एक्स, वाई) जहां एक्स = 4 और वाई = ए (आर) =
वे सभी समकक्ष हैं।

कार्यों को जोड़ा, घटाया, गुणा और विभाजित किया जा सकता है।
आप किसी फंक्शन का फंक्शन भी ले सकते हैं।

फंक्शन एडिशन की परिभाषा

उदाहरण:
चलो f(x) = 2*(x+1)
माना g(x) = (x+1)


फ़ंक्शन घटाव की परिभाषा

उदाहरण:
चलो f(x) = 2*(x+1)
माना g(x) = (x+1)


फलन गुणन की परिभाषा

उदाहरण:
चलो f(x) = 2*(x+1)
माना g(x) = (x+1)


फंक्शन डिवीजन की परिभाषा

उदाहरण:
चलो f(x) = 2*(x+1)
माना g(x) = (x+1)


समग्र कार्य की परिभाषा

जब आप किसी फंक्शन का फंक्शन लेते हैं, तो आप कंपोजिट फंक्शन के साथ काम कर रहे होते हैं।
सूत्र इस तरह दिखेगा:
जहां बीच में o वास्तव में एक छोटा वृत्त है जिसे मैं पुन: उत्पन्न करने में असमर्थ हूं, इसलिए मैंने इसका प्रतिनिधित्व करने के लिए छोटे अक्षर o का उपयोग किया।

इसका अर्थ है कि f, g का एक फलन है जो कि x का एक फलन है।


You are doing what you probably already know how to do with functions, which is replace the x with whatever value you are dealing with.

what is f(2)?
you replace the x with 2 and solve:


what is ?
you replace the x with and solve:


what is ?
you replace the x with and solve:

since g(x) = , you replace g(x) with to get:


GRAPH OF A FUNCTION VERSUS GRAPH OF A RELATION

The graph of an equation can help you to determine if you are dealing with a function or a relation.
A function has one and only one value of y for each x.

If you draw a vertical line at any value of x in the domain of the equation, that vertical line will cross the equation at one and only one point. If it crosses at more than one point, then you do not have a function.

Take the function
The domain is all real values of x.
The range is all real values of y which is the same as all real values of f(x).
The graph looks like the following:

This equation is a function because you can draw a vertical line through any value of x in the domain and it will cross the graph of the equation only once.

Take the relation
The domain is all positive real values of x including 0. Negative values of x are not possible because you can't take the square root of a negative number and get a real number as an answer.
The range is all real values of y which can be all real numbers since the square root of x can be negative or positive, even though x itself has to be positive.
The graph looks like the following:

This equation is a relation because you can find at least one value of x in the domain of the equation where there is more than one value of y for that x. All you need is one. Here you have many.


Python Advanced Course Topics

This website is free of annoying ads. We want to keep it like this. You can help with your donation:

Decorators

Help Needed

This website is free of annoying ads. We want to keep it like this. You can help with your donation:

Social Media

PDF Books

German Version / Deutsche Übersetzung

Python 3

Classroom Training Courses

Due to the corona pandemic, we are currently running all courses online. Further Information!

The goal of this website is to provide educational material, allowing you to learn Python on your own. Nevertheless, it is faster and more efficient to attend a "real" Python course in a classroom, with an experienced trainer. So why not attend one of the live Python courses in Strasbourg, Paris, Luxembourg, Amsterdam, Zürich / Zurich, Vienna / Wien, London, Berlin, Munich, Hamburg, Frankfurt, or Lake Constance by Bernd Klein, the principal author of this tutorial?

Onsite Training Courses

Due to the corona pandemic, we are currently running all courses online. Further Information!

Let us come to your company or institute and train your employees, as we've done it many times in Amsterdam (The Netherlands), Berlin (Germany), Bern (Switzerland), Basel (Switzerland), Zurich (Switzerland), Locarno (Switzerland), Den Haag (The Hague), Hamburg (Germany), Frankfurt (Germany), Toronto (Canada), Edmonton (Canada), Munich (Germany), Vienna / Wien (Austria) and many other cities. We do training courses in England, Switzerland, Liechtenstein, Austria, Germany, France, Belgium, the Netherlands, Luxembourg, Poland, UK, Italy and other locations in Europe and in Canada.

This way you will get a perfect training up to your needs and it will be extremely cost efficient as well. Contact us so we can define and find the best course curriculum to meet your needs, and schedule course sessions to be held at your location.

Skilled Python Programmers

Most of this tutorial was created by Bernd Klein. Some chapters of the chapter on machine learning were created by Tobias Schlagenhauf. Melisa Atay has created a chapter on Tkinter. Further chapters are currently being created by Bernd and Melisa. Melisa also takes care of maintaining and updating the website together with Bernd.

We are happy to accept guest contributions if they meet the quality standards of this website. Please note, however, that we cannot pay you any fees, as this website does not generate any income apart from very few donations. Donations that can only cover a minimal part of the costs of this website.

Author

This chapter of the Python Tutorial was created by Bernd Klein.
Bernd on social media:
Facebook: python-course.eu on Facebook
Facebook: private

Help Needed

This website is free of annoying ads. We want to keep it like this. You can help with your donation:


Voice property

The voice property has the following variables:

  • age — Integer age of the voice in years. Defaults to None if unknown.
  • gender — String gender of the voice: male, female, or neutral. Defaults to None if unknown.
  • id — String identifier of the voice. Used to set the active voice via pyttsx3.engine.Engine.setPropertyValue() . This attribute is always defined.
  • languages — List of string languages supported by this voice. Defaults to an empty list of unknown.
  • name — Human-readable name of the voice. Defaults to None if unknown.

You can use the following code to identify all the available voices in your system. Add the following code after the init function.

You should see the following output when you run it (depends on the language packs you’ve installed)

Let’s try changing the voice to Zira (female version). You need to use the ID as a parameter, and the order will be exactly what we’ve printed out just now. I will be passing 1 as the index for Zira based on the following order:

  • David (English male)
  • Zira (English male)
  • Haruka (Japanese)
  • Huihui (Chinese)

Let’s add the following code after the for loop and before the say function.

Rerun the file, and you should hear a female voice saying “Welcome to Medium.” Feel free to input your own text and test the text-to-speech conversion.


06 Probability Distributions

6.1 Types of probabilities and distributions

Mathematically equally likely outcomes usually produce symmetric distributions. Simple probabilities of a single coin or single die are uniform in their shape. The probabilities of multiple coins or dice form a symmetric heap that is called a binomial distribution. As the number of dice and pennies increase, the distribution approaches a shape we will later learn to call the "normal" distribution.

Distributions based on relative frequencies can have a variety of shapes, symmetrical or non-symmetrical.

The shape of the distribution of a sample is often reflective of the shape of the distribution of a population. If the sample is a good, random sample, then the shape of the sample distribution is a good predictor of the shape of the population distribution.

Probability Distributions

A probability distribution usually refers to a relative frequency histogram drawn as a line chart.

Both discrete and continuous variables can have a probability distribution. Classes (or bins or intervals) can be constructed, relative frequencies (or probabilities) can be calculated and a relative frequency histogram can be drawn. If the data is continuous, then a mean can be calculated for the data from the original data. There is also a way to recover the mean from the class values and the probabilities, although this depends on the class values being treated as being a part of a continuous distribution. In later chapters the columns of the histogram chart will be replaced by a line, specifically a "heap" or "mound" shaped line. The diagrams further below show how one might move from a column chart representation of data to a line chart representation.

The following data consists of 39 body fat measurements for female students at the College of Micronesia-FSM Summer 2001 and Fall 2001. Following the table is a relative frequency histogram, the probability distribution for this data.

BFI fem CUL
एक्स
आवृत्ति
एफ
सापेक्ष आवृत्ति
f/n or P(x)
20.120.05
24.6120.31
29.2130.33
33.750.13
38.170.18
Sum (n):391.00

The area under the bars is equal to one, the sum of the relative frequencies. The above diagram consists of five discrete classes. Later we will look at continuous probability distributions using lines to depict the probability distribution. Imagine a line connecting the tops of the columns:

If the columns are removed and the class upper limits are shifted to where the right side of each column used to be:

The orange vertical line has been drawn at the value of the mean. This line splits the area under the "curve" in half. Half of the females have a body fat measurement less than this value, half have a body fat measurement greater than this value.

We could also draw a vertical line that splits the area under the curve such that we have ten percent of the area to the left of the orange line and ninety percent to the right of the orange line. This line would be at the value below which only ten percent of the measurements occur.

6.2 Calculations of the mean and the standard deviation

In some situations we have only the intervals and the frequencies but we do not have the original data. In these situations it would be useful to still be able to calculate a mean and a standard deviation for our data.

If we only have the intervals and frequencies, then we can calculate both the mean and the standard deviation from the class upper limits and the relative frequencies. Here is the mean and standard deviation for the sample of 39 female students:

BFI fem CUL
एक्स
आवृत्ति
एफ
Relative Frequency f/n or P(x) Mean &mu:
&sum(x*P(x))
stdev &sigma:
&radic(&sum((x-&mu)ҪP(x)))
20.120.051.034.52
24.6120.317.587.29
29.2130.339.720.04
33.750.134.322.23
38.170.186.8613.56
Sum:391.00&mu = 29.51 &sum = 27.64
&sigma = 5.26

A spreadsheet with the above data is available.

Note that the results are not exactly the same as those attained by analyzing the data directly. Where we can, we will analyze the original data. This is not always possible. The following table was taken from the 1994 FSM census. Here the data has already been tallied into intervals, we do not have access to the original data. Even if we did, it would be 102,724 rows, too many for some of the computers on campus.

Age x Total f Relative frequency f/n or P(x) x*P(x) (x-&mu)²*P(x)
4146620.140.5757.78
9150900.151.3233.58
14149440.152.0414.90
19124250.122.303.17
2491920.092.150.00
2970420.071.991.63
3468000.072.256.46
3959980.062.2812.93
4431310.031.3412.05
4936010.041.7221.70
5422710.021.1919.74
5920890.021.2024.74
6419780.021.2330.62
6913080.010.8825.65
7411690.010.8428.31
795440.010.4215.95
843130.000.2610.93
89990.000.094.06
94560.000.052.66
98120.000.010.64
Sums:102724124.12 327.50
sqrt: 18.10

The mean &mu = 24.12
The population standard deviation &sigma = 18.10

A spreadsheet with the above data is available.

The result is an average age of 24.12 years for a resident of the FSM in 1994 and a standard deviation of 18.10 years. This means at least half the population of the nation is under 24.12 years old! Actually, due to the skew in the distribution, fully 56% of the nation is under 19. Bear in mind that 56% is in school. That means we will need new jobs for that 56% as they mature and enter the workplace. On the order of 57,121 new jobs.

How old are you? Below, at, or above the mean (average)? Do you have a job?

Note we used the class upper limits to calculate the average age. Potentially this inflates the national average by as much as half a class width or 2.5 years. Taking this into account would yield an average age of 21.62 years old.

There is one more small complication to consider. Since the population of the FSM is growing, the number of people at each age in years is different across the five year span of the class. The age groups at the bottom of the class (near the class lower limit) are going to be bigger than the age groups at the top of the class (near the class upper limit). This would act to further reduce the average age.

Homework: Use the 2000 Census data to calculate the mean age in the FSM in 2000.

Use the following data to calculate the overall grade point average and standard deviation of the grade point data for the Pohnpeian students at the national campus during the terms Fall 2000 and Spring 2001

Grade Point Value
एक्स
आवृत्ति
एफ
सापेक्ष आवृत्ति
f/n or P(x)
Mean:
&sum(x*P(x))
stdev:
&radic(&sum((x-&mu)ҪP(x)))
4851__________________
31120__________________
21023__________________
1459__________________
0690__________________
Sums: ________________________
Sqrt:______


You can reference your Lambda function using either a qualified ARN or an unqualified ARN.

Qualified ARN – The function ARN with a version suffix. The following example refers to version 42 of the helloworld function.

Unqualified ARN – The function ARN without a version suffix.

You can use a qualified or an unqualified ARN in all relevant API operations. However, you can't use an unqualified ARN to create an alias.

If you decide not to publish function versions, you can invoke the function using either the qualified or unqualified ARN in your event source mapping. When you invoke a function using an unqualified ARN, Lambda implicitly invokes $LATEST.

Lambda publishes a new function version only if the code has never been published or if the code has changed from the last published version. If there is no change, the function version remains at the last published version.

The qualified ARN for each Lambda function version is unique. After you publish a version, you can't change the ARN or the function code.


7 Major Functions of Office Management

This article throws light upon the seven major functions of office management. They are: 1. Planning 2. Staffing 3. Directing 4. Communication 5. Controlling 6. Co-ordination 7. Motivation.

Office Management Function # 1. Planning:

Planning is the first and foremost function of office management. It is best described as the first step towards other functions of the office.

It is a well-defined course of future action.

Fayol had pointed out:

“The plan of action at one and the same time, the result envisaged the line of action to be followed, the stages to go through, and the method to use. It is a kind of future picture wherein proximate events are outlined with some distinctiveness while remote events appear progressively less distinct. Planning is a mental process based on available means of facts and future possibilities”.

Objectives of Planning:

1. Offset the changes and uncertainty

2. To gain on economical operations, and

In the case of office management these objectives of planning are to be co-ordinated with reference to the objectives of business enterprises as set forth by its manager.

Planning has certain benefits which are enumerated:

1. Planning gives a direction to activities in the office and thus everything becomes purposeful.

2. Planning focuses alteration on objectives.

3. Planning helps to offset uncertainties and changes.

4. Planning facilitates control in the office.

5. Planning also takes care of the growth of business operations. Thus the office is not found wanting when it grows.

6. Planning helps in economical operations in an office as the office personnel know about the target and goals, and about how to move in that direction.

7. Planning facilitates a complete control in the office. The second element of the office is organising.

It refers to the creation of a structure of duties and responsibilities to achieve the objectives of an enterprise. Urvick describes organisation as “determining what activities are necessary for any purpose or plan and arranging them in groups which may be assigned to the individuals. It is concerned with activity-authority relationship. The office is to be organised and the duties and functions are to be defined to determine authority relationship so that the office functions smoothly.”

Office Management Function # 2. Staffing:

It is a function of management, more so it is an executive function of selection, recruitment, compensation, promotion, training and retirement of subordinate managers. Office management also has this process of staffing because the office has to be manned and managed in similar fashion.

Office Management Function # 3. Directing:

Direction is defined and described as the functioning of command. “The successful direction of sub-ordinates results in knowledgeable well-trained people who work efficiently toward the objectives of the enterprises. Direction can be described as the process of guiding and supervising the subordinates. The idea of guiding and supervising is to give a specific direction to the various activities in the office with a view to its proper functioning.”

Office Management Function # 4. Communication:

It is explained as the interchanges of thoughts or information to bring about a mutual understanding and confidence or a good human relation. Effective communication is in line where a thing is understood in the same sense in which it has been communicated.

To establish a good communication it is essential to follow these three principles:

(a) The principles of clarity

(b) The principles of integrity

(c) The principles of strategic use of informal organisation.

Office Management Function # 5. Controlling:

Controlling is a function of checking current performance against pre-determined standards contained in the plans, with a view to ensuring adequate progress and satisfactory performance—physical or financial. Controlling is basis to the office management.

Performance of the office staff has to be measured and corrective steps are to be taken to make sure that the aims of the office via-a-vis that of the enterprises are attained.

Controlling should have these principles:

1. The principle of economy

2. The principle of flexibility.

3. The principle of objectivity.

4. The principle of vision.

5. The principle of need and nature of the office.

Office Management Function # 6. Co-Ordination:

Co-ordination is a process of balancing and keeping the team together by ensuring a suitable allocation of working activities to the various members, and seeing to it that these are performed with due harmony amongst the members themselves.

In order to have an effective co-ordination in the office, it is necessary that co-­ordination must have the following prerequisites:

(a) The goal of the sub-ordinate department must be designed to contribute to the enterprise.

(b) The objectives of the enterprise must be known to each and every member of the group.

(c) Individuals should understand properly how their job contributes to the goal of the enterprise.

Principles of co-ordination:

The principles of co-ordination are enumerated:

(ए) Principles of Direct Contact:

Co-ordination must be achieved through direct contact amongst the parties concerned. This would avoid red-tapeism and ensure promptness.

(बी) Principles of Continuity:

Co-ordination has to be a continuous process because various conditions keep on interchanging and ever-changing.

(सी) Principles of Early Beginning:

It is necessary to achieve coordination with early stages of planning and policy­making.

(d) Principles of Reciprocal Relationship:

All the factors like sales, production, management, finance in a situation must be reciprocally related.

Office Management Function # 7. Motivation:

One of the most complex and a difficult process of a form of management is the process of motivation.

Motivation is of two types:

Motivation means including a subordinate to work with zeal and zest with gusto and cooperate for achieving the objectives of the organisation. The motivation system should satisfy the edge needs of the group besides being flexible, competitive, productive and comprehensive.

If a motivational system has these characteristics it shall achieve the following in the office:


वीडियो देखना: 2008 Mustang v6 vs 2011 Mustang v6 (दिसंबर 2021).