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४.७: विशेष द्विपद उत्पाद


बीजगणित में तीन द्विपद उत्पाद इतनी बार आते हैं कि हम उन्हें इस रूप में नामित करते हैं विशेष द्विपद उत्पाद. हमने उन्हें पहले देखा है, लेकिन समय बचाने वाले उपकरणों के रूप में और समीकरणों को हल करने में उनके महत्व के कारण हम उनका फिर से अध्ययन करेंगे (जिसका अध्ययन हम बाद के अध्याय में करेंगे)।

इन विशेष उत्पादों को इस प्रकार दिखाया जा सकता है: द्विपद के वर्ग

((a+b)^2) और (a-b)^2)

और के रूप में दो पदों का योग और अंतर।

((ए+बी)(ए-बी))

दो सरल नियम हैं जो हमें इन द्विपदों को आसानी से विस्तारित (गुणा) करने की अनुमति देते हैं। वे अच्छी तरह से याद रखने योग्य हैं, क्योंकि वे भविष्य में बहुत समय बचाएंगे।

((a+b)^2) और ((a−b)^2) का विस्तार करना

द्विपद का वर्ग करना

द्विपद का वर्ग करने के लिए:

1. पहले पद का वर्ग करें।

2. दो पदों का गुणनफल लें और इसे दोगुना करें।

3. अंतिम पद का वर्ग करें।

4. तीनों परिणामों को एक साथ जोड़ें

((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2)

((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2)

विस्तार करना (a+b)(a−b)

दो शब्दों का योग और अंतर।

दो पदों के योग और अंतर का विस्तार करने के लिए:†

  1. पहले पद का वर्ग करें और दूसरे पद का वर्ग करें।
  2. पहले पद के वर्ग से दूसरे पद का वर्ग घटाएं।

((a+b)(a-b) = a^2 - b^2)

नमूना सेट ए

उदाहरण (PageIndex{1})

(
(x+4)^{2}
)
पहले पद का वर्ग करें: (x^{2})।
दोनों पदों का गुणनफल (4x) है। इसे दोगुना करें: (8x)।
अंतिम पद का वर्ग करें: 16.

उन्हें एक साथ जोड़ें: (x^{2}+8x+16)

((x+4)^{2}=x^{2}+8 x+16)

ध्यान दें कि ((x+4)^{2} eq x^{2}+4^{2}). (8x) पद गायब है!

उदाहरण (PageIndex{2})

(
(ए-8)^{2}
)
पहले पद का वर्ग करें: (a^{2})।
दोनों पदों का गुणनफल (-8a) है। इसे दोगुना करें: (-16a)।
अंतिम पद का वर्ग करें: 64।

उन्हें एक साथ जोड़ें: (a^2 + (-16a) + 64)

((a-8)^2 = a^2 - 16a + 64)

ध्यान दें कि इस अभिव्यक्ति में अंतिम पद का चिन्ह "(+)" है। यह हमेशा होगा क्योंकि अंतिम पद एक संख्या के परिणाम से होता है वर्ग. कोई भी अशून्य संख्या बार हमेशा सकारात्मक होती है।

((+)(+) = +) और ((-)(-) = +)

ट्रिनोमियल में दूसरे पद का चिन्ह हमेशा होने वाला चिन्ह होगा के भीतर कोष्ठक।

उदाहरण (PageIndex{3})

(
(वाई-1)^{2}
)
पहले पद का वर्ग करें: (y^{2})।
दोनों पदों का गुणनफल (-y) है। इसे दोगुना करें: (-2y)।
अंतिम पद का वर्ग करें: +1।

उन्हें एक साथ जोड़ें: (y^2 + (-2y) + 1)

उदाहरण (PageIndex{4})

(
(5x+3)^{2}
)
पहले पद का वर्ग करें: (25x^{2})।
दोनों पदों का गुणनफल (15x) है। इसे दोगुना करें: (30x)।
अंतिम पद का वर्ग करें: 9.

उन्हें एक साथ जोड़ें: (25x^2 + 30x + 9)

उदाहरण (PageIndex{5})

(
(7बी-2)^{2}
)
पहले पद का वर्ग करें: (49b^{2})।
दोनों पदों का गुणनफल (-14b) है। इसे दोगुना करें: (-28b)।
अंतिम पद का वर्ग करें: 4.

उन्हें एक साथ जोड़ें: (49b^2 + (-28b) + 4)

उदाहरण (PageIndex{6})

(
(एक्स+6)(एक्स-6)
)
पहले पद का वर्ग करें: (x^2)।
पहले पद के वर्ग से दूसरे पद ((36)) का वर्ग घटाएं: (x^2 - 36)

((x+6)(x-6) = x^2 - 36)

उदाहरण (PageIndex{7})

(
(4a−12)(4a+12)
)
पहले पद का वर्ग करें: (16a^2)।
पहले पद के वर्ग से दूसरे पद ((144)) का वर्ग घटाएं: (16a^2-144)

((4a-12)(4a+12) = 16a^2 - 144)

उदाहरण (PageIndex{8})

(
(6x+8y)(6x−8y)
)
पहले पद का वर्ग करें: (36x^2)।
पहले पद के वर्ग से दूसरे पद ((64y^2)) का वर्ग घटाएं: (36x^2 - 64y^2)

((6x+8y)(6x-8y) = 36x^2 - 64y^2)

अभ्यास सेट ए

निम्नलिखित उत्पाद खोजें।

अभ्यास समस्या (PageIndex{1})

((x+5)^2)

उत्तर

(x^2 + 10x + 25)

अभ्यास समस्या (PageIndex{2})

((x+7)^2)

उत्तर

(x^2 + 14x + 49)

अभ्यास समस्या (PageIndex{3})

((y-6)^2)

उत्तर

(y^2 - 12y + 36)

अभ्यास समस्या (PageIndex{4})

((3a+b)^2)

उत्तर

(9a^2 + 6ab + b^2)

अभ्यास समस्या (PageIndex{5})

((9m-n)^2)

उत्तर

(81m^2 - 18mn + n^2)

अभ्यास समस्या (PageIndex{6})

((10x - 2y)^2)

उत्तर

(100x^2 - 40xy + 4y^2)

अभ्यास समस्या (PageIndex{7})

((12a - 7b)^2)

उत्तर

(144a^2 - 168ab + 49b^2)

अभ्यास समस्या (PageIndex{8})

((5h - 15k)^2)

उत्तर

(25h^2 - 150hk + 225k^2)

अभ्यास

निम्नलिखित समस्याओं के लिए, उत्पाद खोजें।

व्यायाम (PageIndex{1})

((x+3)^2)

उत्तर

(x^2 + 6x + 9)

व्यायाम (PageIndex{2})

((x+5)^2)

व्यायाम (PageIndex{3})

((x+8)^2)

उत्तर

(x^2 + 16x + 64)

व्यायाम (PageIndex{4})

((x+6)^2)

व्यायाम (PageIndex{5})

((y+9)^2)

उत्तर

(y^2 + 18y + 81)

व्यायाम (PageIndex{6})

((y+1)^2)

व्यायाम (PageIndex{7})

((a-4)^2)

उत्तर

(a^2 - 8a + 16)

व्यायाम (PageIndex{8})

((ए-6)^2)

व्यायाम (PageIndex{9})

((ए-7)^2)

उत्तर

(a^2 - 14a + 49)

व्यायाम (PageIndex{10})

((बी+10)^2)

व्यायाम (PageIndex{11})

((बी+15)^2)

उत्तर

(b^2 + 30b + 225)

व्यायाम (PageIndex{12})

((a-10)^2)

व्यायाम (PageIndex{13})

((x-12)^2)

उत्तर

(x^2 - 24x + 144)

व्यायाम (PageIndex{14})

((x+20)^2)

व्यायाम (PageIndex{15})

((y-20)^2)

उत्तर

(y^2 - 40y + 400)

व्यायाम (PageIndex{16})

((3x + 5)^2)

व्यायाम (PageIndex{17})

((4x + 2)^2)

उत्तर

(16x^2 + 16x + 4)

व्यायाम (PageIndex{18})

((6x - 2)^2)

व्यायाम (PageIndex{19})

((7x - 2)^2)

उत्तर

(49x^2 - 28x + 4)

व्यायाम (PageIndex{20})

((5a - 6)^2)

व्यायाम (PageIndex{21})

((3a - 9)^2)

उत्तर

(9a^2 - 54a + 81)

व्यायाम (PageIndex{22})

((3w - 2z)^2)

व्यायाम (PageIndex{23})

((5a - 3b)^2)

उत्तर

(25a^2 - 30ab + 9b^2)

व्यायाम (PageIndex{24})

((6t - 7s)^2)

व्यायाम (PageIndex{25})

((2h - 8k)^2)

उत्तर

(4h^2 - 32hk + 64k^2)

व्यायाम (PageIndex{26})

((a + dfrac{1}{2})^2)

व्यायाम (PageIndex{27})

((a + dfrac{1}{3})^2)

उत्तर

(a^2 + dfrac{2}{3}a + dfrac{1}{9})

व्यायाम (PageIndex{28})

((x + dfrac{3}{4})^2)

व्यायाम (PageIndex{29})

((x + dfrac{2}{5})^2)

उत्तर

(x^2 + dfrac{4}{5}x + dfrac{4}{25})

व्यायाम (PageIndex{30})

((x - dfrac{2}{3})^2)

व्यायाम (PageIndex{31})

((y-dfrac{5}{6})^2)

उत्तर

(y^2 - dfrac{5}{3}y + dfrac{25}{36})

व्यायाम (PageIndex{32})

((y + dfrac{2}{3})^2)

व्यायाम (PageIndex{33})

((x + 1.3)^2)

उत्तर

(x^2 + 2.6x + 1.69)

व्यायाम (PageIndex{34})

((x + 5.2)^2)

व्यायाम (PageIndex{35})

((ए + 0.5)^2)

उत्तर

(a^2 + a + 0.25)

व्यायाम (PageIndex{36})

((ए + 0.08)^2)

व्यायाम (PageIndex{37})

((x - 3.1)^2)

उत्तर

(x^2 - 6.2x + 9.61)

व्यायाम (PageIndex{38})

((y - 7.2)^2)

व्यायाम (PageIndex{39})

((बी - 0.04)^2)

उत्तर

(b^2 - 0.08b + 0.0016)

व्यायाम (PageIndex{40})

((f - 1.006)^2)

व्यायाम (PageIndex{41})

((x + 5)(x - 5))

उत्तर

(x^2 - 25)

व्यायाम (PageIndex{42})

((x+6)(x-6))

व्यायाम (PageIndex{43})

((x+1)(x−1))

उत्तर

(x^2 - 1)

व्यायाम (PageIndex{44})

((t−1)(t+1))

व्यायाम (PageIndex{45})

((f+9)(f−9))

उत्तर

(f^2 - 81)

व्यायाम (PageIndex{46})

((y−7)(y+7))

व्यायाम (PageIndex{47})

((2y+3)(2y−3))

उत्तर

(4y^2 - 9)

व्यायाम (PageIndex{48})

((5x+6)(5x−6))

व्यायाम (PageIndex{49})

((2a−7b)(2a+7b))

उत्तर

(4a^2 - 49b^2)

व्यायाम (PageIndex{50})

((7x+3t)(7x−3t))

व्यायाम (PageIndex{51})

((5h−2k)(5h+2k))

उत्तर

(25h^2 - 4k^2)

व्यायाम (PageIndex{52})

((x + dfrac{1}{3})(x - dfrac{1}{3}))

व्यायाम (PageIndex{53})

((a + dfrac{2}{9})(a - dfrac{2}{9}))

उत्तर

(a^2 - dfrac{4}{81})

व्यायाम (PageIndex{54})

((x + dfrac{7}{3})(x - dfrac{7}{3}))

व्यायाम (PageIndex{55})

((2b + dfrac{6}{7})(2b - dfrac{6}{7}))

उत्तर

(4b^2 - dfrac{36}{49})

व्यायाम (PageIndex{56})

यह साबित करने के लिए ((a+b)^2) का विस्तार करें कि यह (a^2 + 2ab + b^2) के बराबर है।

व्यायाम (PageIndex{57})

यह साबित करने के लिए ((a-b)^2) का विस्तार करें कि यह (a^2 - 2ab + b^2) के बराबर है।

उत्तर

((a-b)(a-b) = a^2 - ab - ab + b^2 = a^2 - 2ab + b^2)

व्यायाम (PageIndex{58})

यह साबित करने के लिए ((a+b)(a-b)) का विस्तार करें कि यह (a^2-b^2) के बराबर है।

व्यायाम (PageIndex{59})

नीचे दिए गए समीकरण में छूटे हुए लेबल को भरें।

उत्तर

पहला टर्म चुकता

व्यायाम (PageIndex{60})

नीचे दिए गए समीकरण के भागों को लेबल करें।

व्यायाम (PageIndex{61})

नीचे दिए गए समीकरण के भागों को लेबल करें।

उत्तर

a) पहले टर्म को स्क्वायर करें।

b) दूसरे पद का वर्ग करें और इसे पहले पद से घटाएं।

समीक्षा के लिए व्यायाम

व्यायाम (PageIndex{62})

((x^3y^0z^4)^5) को सरल कीजिए।

व्यायाम (PageIndex{63})

(10^{-1} cdot 2^{-3}) का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर

(dfrac{1}{80})

व्यायाम (PageIndex{64})

उत्पाद खोजें।

((x+6)(x-7))।

व्यायाम (PageIndex{65})

उत्पाद खोजें।

((5मी - 3)(2मी + 3))

उत्तर

(10मी^2 + 9मी - 9)

व्यायाम (PageIndex{66})

उत्पाद खोजें।

((a+4)(a^2 - 2a + 3))


आइए एक विशेष नियम पर एक नज़र डालें जो हमें एफओआईएल विधि का उपयोग किए बिना उत्पाद खोजने की अनुमति देगा।

द्विपद का वर्ग निम्न का योग होता है: प्रथम पदों का वर्ग, दो पदों के गुणनफल का दुगुना और अंतिम पद का वर्ग।

मुझे पता है कि यह भ्रमित करने वाला लगता है, तो एक नज़र डालें।

यदि आप इस सूत्र को याद कर सकते हैं, तो आप एफओआईएल पद्धति का उपयोग किए बिना बहुपद वर्गों का मूल्यांकन करने में सक्षम होंगे। यह अभ्यास लेगा।

आइए अब उदाहरण 1 पर एक नजर डालते हैं और हमारे विशेष नियम का उपयोग करके उत्पाद को ढूंढते हैं।


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प्रशन

<a href=”/intermediatealgebraberg/back-matter/answer-key-6-6/”>उत्तर कुंजी 6.6


फ़ॉइल कैलकुलेटर- द्विपद गुणा करना

यह द्विपद कैलकुलेटर एक द्विपद के उत्पाद की गणना करता है जिसे एफओआईएल विधि का उपयोग करके दूसरी शक्ति या तीसरी शक्ति तक बढ़ाया जाता है। द्विपद व्यंजक का गुणनफल, सभी उत्पादों की तरह, दो द्विपद व्यंजकों को एक साथ गुणा करके प्राप्त किया जाता है।

ऊपर दिए गए इस कैलकुलेटर का उपयोग करने के लिए, हम प्रारूप (ax + b) n का पालन करते हैं। एक उपयोगकर्ता बस में प्रवेश करता है तथा बी मूल्य। वह उस चिन्ह और घातांक को भी बदल सकता है, जिस पर द्विपद को उठाया गया है। डिफ़ॉल्ट रूप से, चिह्न और घातांक "+" और "2" हैं। हालाँकि, उपयोगकर्ता चिह्न को "-" और घातांक को "3" में बदल सकता है। इस प्रकार, कैलकुलेटर गतिशील इनपुट की अनुमति देता है।

एक बार जब उपयोगकर्ता "गणना करें" पर क्लिक करता है, तो उत्तर की गणना स्वतः हो जाएगी।

विभिन्न द्विपदों को गुणा करना

यह द्विपद कैलकुलेटर दो द्विपदों के गुणनफल की गणना करता है जो या तो समान या भिन्न हो सकते हैं। यदि वे समान हैं, तो आप पहले कैलकुलेटर का उपयोग कर सकते हैं, लेकिन यदि वे भिन्न हैं, तो आपको इसका उपयोग करना चाहिए।

फिर, यह एफओआईएल विधि द्वारा द्विपदों के उत्पाद की गणना करता है, जो नीचे बताए गए चरणों में हैं।

पन्नी समझायाIL

एफओआईएल कैसे काम करता है, इसका संदर्भ दृश्य नीचे दिया गया है:

एफओआईएल द्विपद उत्पाद गणना की एक विधि है जो नीचे दिखाए गए निम्नलिखित चरणों का उपयोग करती है:

मान लीजिए कि हमारे पास निम्नलिखित द्विपद है जो ऊपर दिखाया गया है।

यदि हम घातांक का उपयोग किए बिना इसका विस्तार करते हैं, तो यह नीचे जैसा दिखेगा:

एफओआईएल का उपयोग करके, हम इस द्विपद उत्पाद की गणना निम्नलिखित चरणों से करेंगे:

प्रथम- हम प्रत्येक द्विपद से पहला पद लेते हैं और उन्हें एक साथ गुणा करते हैं। द्विपद व्यंजक (ax + b)(ax +b) के साथ, पहले पद हैं कुल्हाड़ी तथा कुल्हाड़ी. यह उत्पाद को 2 x 2 देता है।

आउटर- इसके बाद, हम दो द्विपदों के बाह्य या बाह्य पदों को लेते हैं। द्विपद व्यंजक (ax + b)(ax +b) के साथ, बाहरी पद हैं कुल्हाड़ी तथा बी. इससे उत्पाद मिलता है abx.

भीतरी- इसके बाद, हम दो द्विपदों के आंतरिक या आंतरिक पदों को लेते हैं। द्विपद व्यंजक (ax + b)(ax +b) के साथ, आंतरिक पद हैं बी तथा कुल्हाड़ी. इससे उत्पाद मिलता है abx. अब हम बाहरी और आंतरिक शब्दों को जोड़ सकते हैं, क्योंकि वे समान पद हैं। इसलिए, वे केवल शब्द देने के लिए जोड़ते हैं 2abx.

अंतिम- इसके बाद, हम दो द्विपदों के अंतिम पदों को लेते हैं। द्विपद व्यंजक (ax + b)(ax +b) के साथ, अंतिम पद हैं बी तथा बी. यह उत्पाद पैदा करता है बी 2 .

तो अब कुल मिलाकर, एक बार जब हम सभी पदों को जोड़ देते हैं, तो इस द्विपद व्यंजक से हमें a 2 x 2 + 2abx + b 2 का अंतिम गुणनफल प्राप्त होता है।

पन्नी
प्रथम- (3x)(3x)=9x 2
बाहरी- (3x)(4)= 12x
भीतरी- (४)(३x)= १२x
अंतिम- (4)(4)=16

एक साथ जोड़े गए कुल शब्द: 9x 2 + 12x + 12x +16 = 9x 2 + 24x + 16

पन्नी
प्रथम- (2x)(5x)=10x 2
बाहरी- (2x)(-7)= -14x
भीतरी- (३)(५x)= १५x
अंतिम- (3)(-7)= -21


बैन, सिनवेन ने 4.7 अरब डॉलर के सौदे में लोन्ज़ा स्पेशलिटी सामग्री खरीदी

ज्यूरिख (रायटर) - बैन कैपिटल और सिनवेन 4.7 बिलियन डॉलर के सौदे में लोन्ज़ा के स्पेशलिटी इंग्रीडिएंट डिवीजन का अधिग्रहण कर रहे हैं, स्विस अनुबंध दवा निर्माता ने सोमवार को कहा, क्योंकि यह दवा और बायोटेक कंपनियों की आपूर्ति करने वाली अपनी तेजी से बढ़ती इकाई पर ध्यान केंद्रित करता है।

बैन-सिनवेन कंसोर्टियम को जर्मनी के लैंक्सेस और बायआउट ग्रुप एडवेंट, कार्लाइल और अन्य के साथ उस यूनिट के लिए बोली लगाने वालों के रूप में सूचीबद्ध किया गया था जो एंटी-डैंड्रफ शैम्पू सामग्री, सूअर के लिए पोषक तत्वों की खुराक और लकड़ी और स्वच्छता उत्पादों के लिए माइक्रोबियल नियंत्रण बनाती है।

Lonza, जिसने कहा कि लेनदेन का उद्यम मूल्य 4.2 बिलियन स्विस फ़्रैंक (4.7 बिलियन डॉलर) है, अपने त्वरित दवा व्यवसाय पर दोगुना हो रहा है। इसके ग्राहकों में मॉडर्न शामिल हैं, जो लोन्ज़ा अपने COVID-19 वैक्सीन के लिए सामग्री की आपूर्ति करता है, और AstraZeneca, जिसने स्विस कंपनी को अपने COVID-19 एंटीबॉडी उपचार में मदद करने के लिए काम पर रखा है।

अध्यक्ष अल्बर्ट बेहनी ने एक बयान में कहा, "स्पेशलिटी इंग्रीडिएंट्स व्यवसाय की बिक्री से लोन्ज़ा को स्वास्थ्य सेवा उद्योग में एक प्रमुख भागीदार के रूप में अपनी स्थिति पर ध्यान केंद्रित करने की अनुमति मिलेगी।"

उन्होंने कहा, "बिक्री से मुक्त नकदी प्रवाह हमें अपनी रणनीतिक प्राथमिकताओं में तेजी लाने की अनुमति देगा।"

Lonza के शेयरों में पिछले साल 60% से अधिक की वृद्धि हुई, क्योंकि इसने दवाओं में विस्तार किया और विशेष सामग्री को उतारने के लिए तैयार किया।

यूनिट, जो कभी लोन्ज़ा की प्रमुख दवाओं और बायोटेक डिवीजन से पहले थी, ने इसे बैक बर्नर पर वापस ले लिया, पिछले साल राजस्व 2.1% गिरकर पिछले साल 1.7 बिलियन फ़्रैंक हो गया।

इसके विपरीत, Lonza की दवा, बायोटेक और पोषण राजस्व 7.2% बढ़कर 4.5 बिलियन फ़्रैंक हो गया क्योंकि Lonza ने एक बड़े विस्तार के साथ आगे बढ़ाया, जिसमें संयुक्त राज्य अमेरिका और स्विट्जरलैंड में नए कोरोनवायरस के खिलाफ मॉडर्न के टीके के लिए चार नई उत्पादन लाइनें बनाना शामिल है।


लेन ORCCA (२०२०-२०२१): सामुदायिक कॉलेज बीजगणित के लिए खुला संसाधन

चूंकि अब हम बहुपदों को एक साथ गुणा करने में सक्षम हैं, इसलिए हम बहुपद गुणन के कुछ विशेष मामलों को देखेंगे।

उपखंड 6.6.1 द्विपद का वर्ग करना

उदाहरण 6.6.1।

"द्विपद का वर्ग" करने के लिए एक द्विपद लेना है और इसे अपने आप से गुणा करना है। हम जानते हैं कि घातांक संकेतन का अर्थ है कि (4^2=4cdot 4 ext<.>) इसे द्विपद में लागू करने पर, हम देखेंगे कि ((x+4)^2=(x+4) (x+4) ext<.>) इस अभिव्यक्ति का विस्तार करने के लिए, हम बस ((x+4)) को ((x+4) ext<:>) में वितरित करेंगे।

इसी तरह, ((y-7)^2 ext<,>) का विस्तार करने के लिए हमारे पास होगा:

ये दो उदाहरण द्विपदों को गुणा करने के किसी अन्य उदाहरण की तरह लग सकते हैं, लेकिन बारीकी से देखने पर हम देख सकते हैं कि कुछ बहुत विशिष्ट (या विशेष) हो गई। मूल अभिव्यक्ति और सरलीकृत अभिव्यक्ति पर ध्यान केंद्रित करते हुए, हम देख सकते हैं कि प्रत्येक में एक विशिष्ट पैटर्न हुआ:

शुरू बाएं(y-7 ight)^2 amp= y^2 -highlight<7>y - highlight<7>y + highlight<7cdot 7> left( y-highlight < 7>दाएं)^2 amp= y^2 -2(highlight<7>y) + highlight<7>^2 end

ध्यान दें कि दो मध्य पद न केवल समान हैं, वे द्विपद में दो पदों के उत्पाद भी हैं। इसके अलावा, अंतिम पद प्रत्येक मूल द्विपद में दूसरे पद का वर्ग है।

हम जो देख रहे हैं वह एक पैटर्न है जो दो महत्वपूर्ण वाक्यांशों से संबंधित है: प्रक्रिया को कहा जाता है, और परिणाम को एक कहा जाता है। पहला वाक्यांश इस बात का विवरण है कि हम क्या कर रहे हैं, हम सचमुच एक द्विपद का वर्ग कर रहे हैं। दूसरा वाक्यांश इस बात का विवरण है कि आप किसके साथ समाप्त होते हैं। यह दूसरा नाम भविष्य के अध्याय में महत्वपूर्ण हो जाएगा।

उदाहरण 6.6.2।

इस पैटर्न को प्रस्तुत करने का सामान्य तरीका दो सबसे सामान्य द्विपदों का वर्ग करना है, ((a+b)) और (((ab) ext<.>) हम ((a+) के लिए पैटर्न स्थापित करेंगे। b)^2) और ((ab)^2 ext<.>) एक बार ऐसा करने के बाद, हम (a) और (b) के स्थान पर कुछ भी बदलने में सक्षम होंगे और भरोसा करेंगे वर्ग द्विपद को सरल बनाने के सामान्य पैटर्न पर।

हमें पहले ((a+b)^2) को ((a+b)(a+b)) के रूप में विस्तारित करना होगा और फिर हम उन द्विपदों को गुणा कर सकते हैं:

ध्यान दें कि अंतिम सरलीकरण चरण (ab+ba ext<.>) जोड़ना था क्योंकि ये समान पद हैं, हम इन्हें (2ab ext<.>) में जोड़ सकते हैं।

इसी तरह, हम ((a-b)^2 ext<:>) के लिए एक सामान्य सूत्र प्राप्त कर सकते हैं

तथ्य 6.6.3। द्विपद सूत्रों का वर्ग करना।

यदि (a) और (b) वास्तविक संख्या या चर व्यंजक हैं, तो हमारे पास निम्नलिखित सूत्र हैं:

ये सूत्र हमें इस प्रकार के विशेष उत्पाद को अधिक तेज़ी से गुणा करने की अनुमति देंगे।

टिप्पणी 6.6.4।

ध्यान दें कि जब दोनों ((a+b)^2) और ((a-b)^2) को उदाहरण 6.6.2 में विस्तारित किया जाता है, तो अंतिम पद एक था सकारात्मक (b^2) दोनों में। ऐसा इसलिए है क्योंकि कोई भी संख्या या व्यंजक, चाहे उसका चिन्ह कुछ भी हो, चुकता होने के बाद धनात्मक होता है।

उपखंड 6.6.2 द्विपद वर्ग के आगे के उदाहरण

उदाहरण 6.6.5।

द्विपद सूत्र के वर्ग का उपयोग करके ((2x-3)^2) का विस्तार करें।

इस उदाहरण के लिए हमें यह पहचानने की आवश्यकता है कि इस स्थिति में सूत्र ((ab)^2 = a^2-2ab+b^2) को लागू करने के लिए, (a=2x) और (b=3 ext <.>) इसका विस्तार करते हुए, हमारे पास है:

टिप्पणी 6.6.6।

जबकि हम उदाहरण 6.6.5 में द्विपद के वर्ग के लिए सूत्र पर भरोसा करते हैं, हम अक्सर सूत्र को औपचारिक रूप से लिखने के चरण को छोड़ देते हैं और सरलीकरण पर इस तरह से कूद जाते हैं:

उदाहरण 6.6.7।

द्विपद सूत्र का वर्ग करके निम्नलिखित को गुणा करें:

(displaystyle शुरूआत)[टी] (5xy+1)^2 amp= (5xy)^2+2(5xy)(1)+1^2 amp= 25x^2y^2+10xy+1end )

इस व्यंजक के साथ, हम पहले ध्यान देंगे कि (4) का गुणनखंड है बाहर व्यंजक का वह भाग जो चुकता है। संचालन के क्रम का उपयोग करते हुए, हम पहले ((3x-7)^2) का विस्तार करेंगे और फिर उस अभिव्यक्ति को (4 ext<:>) से गुणा करेंगे।

उदाहरण 6.6.8।

एक वृत्त के क्षेत्रफल की गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है

जहां (A) क्षेत्रफल के लिए है, और (r) त्रिज्या के लिए है। यदि किसी निश्चित वृत्त की त्रिज्या को (x-5) फ़ीट द्वारा प्रतिरूपित किया जा सकता है, तो वृत्त के क्षेत्रफल को मॉडल करने के लिए एक विस्तारित बहुपद का उपयोग करें।

वृत्त का क्षेत्रफल होगा:

वृत्त के क्षेत्रफल को (pi x^2-10pi x+25pi) वर्ग फुट द्वारा प्रतिरूपित किया जा सकता है।

चेकपॉइंट 6.6.9।

उपखंड 6.6.3 दो पदों के योग और अंतर का गुणनफल

बहुपदों को गुणा करने के लिए अगले "विशेष स्थिति" की पहचान करने के लिए, हम कुछ उदाहरण देखेंगे।

उदाहरण 6.6.10।

निम्नलिखित द्विपदों को गुणा करें:

(displaystyle शुरूआत)[टी] (x+5)(x-5) amp= x^2-5x+5x-25 amp= x^2 -25end )

(displaystyle शुरूआत)[टी] (y+8)(y-8) amp= y^2-8y+8y-4 amp= y^2 - 64end )

ध्यान दें कि इनमें से प्रत्येक उत्पाद के लिए, हमने दो पदों के योग को . के अंतर से गुणा किया है वैसा ही दो शर्तें। इन तीन उदाहरणों में भी ध्यान दें कि एक बार इन अभिव्यक्तियों को गुणा करने के बाद, दो मध्य पद विपरीत थे और इस प्रकार शून्य पर रद्द कर दिया गया।

इन जोड़ियों को आमतौर पर ((a+b)) और ((a-b) ext<,>) के रूप में लिखा जाता है, के रूप में जाना जाता है। यदि हम ((a+b)(a-b) ext<,>) को गुणा करते हैं तो हम इस सामान्य पैटर्न को अधिक स्पष्ट रूप से देख सकते हैं:

पिछले विशेष मामले की तरह, इसके भी दो नाम हैं। इसे कहा जा सकता है, क्योंकि यह पैटर्न दो द्विपदों को गुणा करने पर बनाया गया है, जिनमें एक ही दो पद हैं, सिवाय एक द्विपद एक योग है और दूसरा द्विपद एक अंतर है। दूसरा नाम a है, क्योंकि गुणन का अंतिम परिणाम एक द्विपद है जो दो पूर्ण वर्गों का अंतर है। पहले की तरह, भविष्य के अध्याय में दूसरा नाम उपयोगी होगा जब इस खंड में वर्णित तकनीक का उपयोग करना उचित होगा।

तथ्य 6.6.11। योग का गुणनफल और दो पदों का अंतर सूत्र।

यदि (a) और (b) वास्तविक संख्या या चर व्यंजक हैं, तो हमारे पास निम्न सूत्र है:


रविवार, 22 अक्टूबर 2006

बहुपद: संचालन 4.7

4.7 अनेक चरों में बहुपदों के साथ संक्रिया
ए। चरों के दिए गए मानों के लिए अनेक चरों वाले बहुपद का मूल्यांकन कीजिए।
बी। एक बहुपद के पदों के गुणांकों और घातों और बहुपद की घात की पहचान कीजिए।
सी। एक बहुपद के पदों को लीजिए।
डी। बहुपद जोड़ें।
इ। बहुपदों को घटाना।
एफ। बहुपदों को गुणा करें।

उद्देश्य ए
चरों के दिए गए मानों के लिए अनेक चरों वाले बहुपद का मूल्यांकन कीजिए।


उद्देश्य बी
एक बहुपद के पदों के गुणांकों और घातों और बहुपद की घात को पहचानिए।

उद्देश्य सी
एक बहुपद के पदों को लीजिए।

उदाहरण सी समान पदों को मिलाएं।

उद्देश्य डी
बहुपद जोड़ें।

उद्देश्य ई
बहुपदों को घटाना।

उद्देश्य च
बहुपदों को गुणा करें।



बहुपद: संचालन 4.6

4.6 विशेष उत्पाद
ए। FOIL पद्धति का उपयोग करके मानसिक रूप से दो द्विपदों को गुणा करें।
बी। मानसिक रूप से दो पदों के योग और अंतर को गुणा करें।
सी। मानसिक रूप से एक द्विपद का वर्ग करें।
डी। जब बहुपद उत्पादों को एक साथ मिलाया जाता है तो विशेष उत्पाद खोजें।

उद्देश्य ए
FOIL पद्धति का उपयोग करके मानसिक रूप से दो द्विपदों को गुणा करें।


उद्देश्य बी
मानसिक रूप से योग और दो शब्दों के अंतर को गुणा करें।


उद्देश्य सी
मानसिक रूप से एक द्विपद का वर्ग करें।


उद्देश्य डी
जब बहुपद उत्पादों को एक साथ मिलाया जाता है तो विशेष उत्पाद खोजें।



बहुपद: संचालन 4.5

4.5 बहुपदों का गुणन
ए। मोनोमियल गुणा करें।
बी। एकपदी और किसी भी बहुपद का गुणा कीजिए।
सी। दो द्विपदों को गुणा करें।
डी। किन्हीं दो बहुपदों को गुणा कीजिए।


द्विपद विकल्प मूल्य निर्धारण मॉडल की मूल बातें

द्विपद विकल्प मूल्य मॉडल के साथ, धारणा यह है कि दो संभावित परिणाम हैं- इसलिए, मॉडल का द्विपद भाग। एक मूल्य निर्धारण मॉडल के साथ, दो परिणाम एक चाल ऊपर, या एक नीचे की ओर हैं। द्विपद विकल्प मूल्य निर्धारण मॉडल का प्रमुख लाभ यह है कि वे गणितीय रूप से सरल हैं। फिर भी ये मॉडल बहु-अवधि मॉडल में जटिल हो सकते हैं।

ब्लैक-स्कोल्स मॉडल के विपरीत, जो इनपुट के आधार पर एक संख्यात्मक परिणाम प्रदान करता है, द्विपद मॉडल संपत्ति की गणना और प्रत्येक अवधि के लिए संभावित परिणामों की सीमा के साथ कई अवधियों के विकल्प की अनुमति देता है (नीचे देखें)।

इस बहु-अवधि के दृश्य का लाभ यह है कि उपयोगकर्ता समय-समय पर परिसंपत्ति मूल्य में परिवर्तन की कल्पना कर सकता है और समय में विभिन्न बिंदुओं पर किए गए निर्णयों के आधार पर विकल्प का मूल्यांकन कर सकता है। यू.एस.-आधारित विकल्प के लिए, जिसे समाप्ति तिथि से पहले किसी भी समय प्रयोग किया जा सकता है, द्विपद मॉडल अंतर्दृष्टि प्रदान कर सकता है कि कब विकल्प का प्रयोग करना उचित हो सकता है और कब इसे लंबी अवधि के लिए आयोजित किया जाना चाहिए।

मूल्यों के द्विपद वृक्ष को देखकर, एक व्यापारी पहले से यह निर्धारित कर सकता है कि किसी अभ्यास पर निर्णय कब हो सकता है। यदि विकल्प का सकारात्मक मूल्य है, तो व्यायाम की संभावना है, जबकि यदि विकल्प का मूल्य शून्य से कम है, तो इसे लंबी अवधि के लिए रखा जाना चाहिए।


(x + 2) 2  (a + b) 2 . के रूप में है

  (a + b) 2  और (x + 2) 2 की तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है

  (a + b) 2 के लिए सूत्र/विस्तार लिखिए।

a के लिए x और b.  . के लिए 2 को प्रतिस्थापित करें

अत:  (x + 2) 2  is . का प्रसार

(x - 5) 2  (a - b) 2 . के रूप में है

  (a - b) 2  और (x - 5) 2 की तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है

  (a - b) 2 के लिए सूत्र/विस्तार लिखिए।

a के लिए x और b.  . के स्थान पर 5 रखें

अत:  (x - 5) 2  is . का प्रसार

(5x + 3) 2  (a + b) 2 . के रूप में है

  (a + b) 2  और (5x + 3) 2 की तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है

के लिए विस्तार लिखें  (a + b) 2 ।

a के लिए 5x और b.  . के लिए 3 प्रतिस्थापित करें

(5x + 3) 2   =  (5x) 2  + 2(5x)(3) + 3 2

अत:  (5x + 3) 2  is . का प्रसार

(5x - 3) 2  (a - b) 2 . के रूप में है

  (a - b) 2  और (5x - 3) 2 की तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है

  (a - b) 2 का प्रसार लिखिए।

a के लिए 5x और b.  . के लिए 3 प्रतिस्थापित करें

(5x - 3) 2   =  (5x) 2  - 2(5x)(3) + 3 2

अतः,  (5x - 3) 2  is . का प्रसार

यदि a + b  =  7 और a 2 + b 2   =  29, तो ab का मान ज्ञात कीजिए।  

ab का मान प्राप्त करने के लिए हम  (a + b) 2 के सूत्र या विस्तार का उपयोग कर सकते हैं।

  (a + b) 2 के लिए सूत्र/विस्तार लिखिए।

(a + b)  के लिए 7 और  (a 2 + b 2 ) के लिए 29 रखें।

प्रत्येक पक्ष से 29 घटाएं। 

यदि a - b  =  3 और a 2  + b 2   =  29, तो ab का मान ज्ञात कीजिए।  

ab का मान प्राप्त करने के लिए हम  (a - b) 2 के सूत्र या विस्तार का उपयोग कर सकते हैं।

  (a - b) 2 के लिए सूत्र/विस्तार लिखिए।

(a - b)  और 29 के लिए  (a 2  + b 2 ) के स्थान पर 3 रखें।

प्रत्येक पक्ष से 29 घटाएं। 

 (√2 + 1/√2) 2   (a + b) 2 के रूप में है

  (a + b) 2  और  (√2 + (1/√2) 2 की तुलना करने पर, हम प्राप्त करते हैं

के लिए विस्तार लिखें  (a + b) 2 ।

विकल्प  √2 ਊ और 1/ √2 ਏor b. 

अत:  (√2 + 1/√2) 2 का मान है

 (√2 - 1/√2) 2   (a - b) 2 के रूप में है

  (a - b) 2  और  (√2 - 1/√2) 2 की तुलना करने पर, हम प्राप्त करते हैं

  (a - b) 2 के लिए सूत्र/विस्तार लिखिए।

विकल्प  2 ਊ और 1/ 2 ਏor b. 

अतः,  (√2 - 1/√2) 2  का मान है

(105) 2 का मान प्राप्त करने के लिए 105 को 105 से गुणा करने के बजाय, हम (a + b) 2 के लिए बीजीय सूत्र का उपयोग कर सकते हैं और (105) 2  का मान आसानी से ज्ञात कर सकते हैं।

(a + b) 2 के रूप में  (105) 2  लिखें।

के लिए विस्तार लिखें  (a + b) 2 ।

100 ਏor a और 5 ਏor b.  . प्रतिस्थापित करें

(१००  + ५ ) २   =  (१०० ) २  + २(१००) (५ ) + (५ ) २

अत:  (10 5 ) 2  is . का मान

(९ ५) २ का मान प्राप्त करने के लिए ९५ को ९५ से गुणा करने के बजाय, हम (a-b) २  के लिए बीजीय सूत्र का उपयोग कर सकते हैं और (९५) २  का मान आसानी से निकाल सकते हैं।

(a - b) 2 के रूप में लिखें  (95) 2  ।

  (a - b) 2 के लिए सूत्र/विस्तार लिखिए।

100 ਏor a और 5 ਏor b.  . प्रतिस्थापित करें

(१००  - ५ ) २   =  (१०० ) २  - 2(१००) (५ ) + (५ ) २

अत:  (9 5 ) 2  is . का मान

ऊपर दी गई सामग्री को पढ़ने के बाद, हम आशा करते हैं कि छात्र (a + b) 2 के सूत्र या विस्तार और (a + b) 2 के विस्तार पर उदाहरण समस्याओं को समझ गए होंगे।  

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