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१.४: संयोजक - गणित


कनेक्टिव्स ((lnot), (&), (lor), (implies), (Leftrightarrow))

तार्किक संयोजकों का उपयोग सरल टुकड़ों से जटिल अभिकथन बनाने के लिए किया जाता है। यह तालिका उन्हें सारांशित करती है, और उन्हें नीचे समझाया गया है।

प्रतीकउपनामइसका क्या मतलब है
(lनहीं)नहीं"ऐसा नहीं है कि ______"
(&)तथा"दोनों और ______"
(lor)या"या तो यह या वह ______"
(दाहिना तीर)तात्पर्य"तो अगर ______"
(बायां तीर)आईएफएफ"______ अगर और केवल अगर ______"

जैसा कि हम सबूत लिखना सीखते हैं, अंग्रेजी में अभिकथन के अनुक्रम से प्रस्तावक तर्क में कटौती करने में सक्षम होना महत्वपूर्ण होगा। यह भी महत्वपूर्ण होगा कि एक प्रतीकात्मक कुंजी को देखते हुए, प्रस्तावक तर्क में अभिकथन के अनुक्रम से अंग्रेजी अर्थ को पुनः प्राप्त करने में सक्षम होना चाहिए। उपरोक्त तालिका इन दोनों कार्यों में उपयोगी सिद्ध होनी चाहिए।

नहीं ((lnot))

एक उदाहरण के रूप में, विचार करें कि हम इन दावों का प्रतीक कैसे हो सकते हैं:

  1. मैरी बार्सिलोना में है।
  2. मैरी बार्सिलोना में नहीं है।
  3. मैरी बार्सिलोना के अलावा कहीं और है।

अभिकथन 1 को दर्शाने के लिए हमें एक अक्षर की आवश्यकता होगी। हम एक प्रतीकात्मक कुंजी प्रदान कर सकते हैं:

(B): मैरी बार्सिलोना में है।

ध्यान दें कि यहाँ हम (B) को पिछले भाग की तुलना में भिन्न व्याख्या दे रहे हैं। प्रतीकीकरण कुंजी केवल यह निर्दिष्ट करती है कि (B) का क्या अर्थ है एक विशिष्ट संदर्भ में. जब तक हम मैरी और बार्सिलोना के बारे में बात कर रहे हैं, यह महत्वपूर्ण है कि हम (बी) के इस अर्थ का उपयोग करना जारी रखें। बाद में, जब हम विभिन्न अभिकथनों का प्रतीक होते हैं, तो हम एक नई प्रतीक कुंजी लिख सकते हैं और (B) का उपयोग कुछ और करने के लिए कर सकते हैं।

अब, अभिकथन 1 बस (B) है।

चूंकि अभिकथन 2 स्पष्ट रूप से अभिकथन 1 से संबंधित है, इसलिए हम इसका प्रतिनिधित्व करने के लिए एक अलग पत्र पेश नहीं करना चाहते हैं। इसे आंशिक रूप से अंग्रेजी में रखने के लिए, अभिकथन का अर्थ है "यह सच नहीं है कि (B)।" संक्षेप में, तर्कशास्त्री कहते हैं "नहीं (B)।" इसे (B) का कहा जाता है। इसे पूरी तरह से प्रतीकों में बदलने के लिए, हम तार्किक निषेध को दर्शाने के लिए "(lnot)" का उपयोग करेंगे। तब हम "नहीं (B)" को (lnot B) के रूप में प्रदर्शित कर सकते हैं।

अभिकथन 3 इस बारे में है कि मैरी बार्सिलोना में है या नहीं, लेकिन इसमें "नहीं" शब्द नहीं है। फिर भी, उन दोनों का अर्थ है "ऐसा नहीं है कि मैरी बार्सिलोना में है।" इस प्रकार, हम अभिकथन 2 और अभिकथन 3 दोनों का अनुवाद (lnot B) के रूप में कर सकते हैं।

[ ext{एक अभिकथन को (lnot A) के रूप में दर्शाया जा सकता है यदि इसे अंग्रेजी में "ऐसा नहीं है कि (A)''}]

इन और उदाहरणों पर विचार करें:

4. अगर विजेट टूट जाता है तो उसे बदला जा सकता है।
5. विजेट अपूरणीय है।
6. विजेट अपूरणीय नहीं है।

यदि हम (R) का अर्थ "विजेट बदली जाने योग्य" होने दें, तो अभिकथन 4 का अनुवाद (R) के रूप में किया जा सकता है।

अभिकथन 5 के बारे में क्या? विजेट को अपूरणीय कहने का अर्थ है कि ऐसा नहीं है कि विजेट बदली जा सकता है। इसलिए भले ही अभिकथन ५ अंग्रेजी में नकारात्मक नहीं है, हम इसे (lnot{R}) के रूप में निषेध का उपयोग करके दर्शाते हैं।

अभिकथन 6 को "ऐसा नहीं है कि विजेट अपूरणीय है" के रूप में व्याख्या की जा सकती है। अब, जैसा कि हम पहले ही चर्चा कर चुके हैं, "विजेट अपरिवर्तनीय है" को "(lnot R)" के रूप में दर्शाया जा सकता है। इसलिए अभिकथन 6 को "ऐसा नहीं है कि (lnot R)" के रूप में तैयार किया जा सकता है। इसलिए, यह (lnot R) का निषेध है, इसलिए इसे (lnot lnot R) के रूप में दर्शाया जा सकता है। यह है एक दोहरा निषेध. (हालांकि, यदि आप अंग्रेजी में अभिकथन के बारे में सोचते हैं, तो यह अभिकथन 4 के समान ही कहने का एक और तरीका है। सामान्य तौर पर, हम देखेंगे कि यदि (A) कोई अभिकथन है, तो (A) और (lnotlnot A) "तार्किक रूप से समतुल्य" हैं।)

और ज्यादा उदाहरण:

7. इलियट छोटा है।
8. इलियट लंबा है।

यदि हम (S) का अर्थ "इलियट छोटा है" दें, तो हम अभिकथन 7 को (S) के रूप में प्रदर्शित कर सकते हैं।

हालांकि, अभिकथन 8 को (lnot{S}) के रूप में दर्शाना एक गलती होगी। यदि इलियट लंबा है, तो वह छोटा नहीं है - लेकिन अभिकथन 8 का अर्थ वही नहीं है जो "ऐसा नहीं है कि इलियट छोटा है।" यह हो सकता है कि वह लंबा नहीं है लेकिन वह छोटा भी नहीं है: शायद वह दोनों (औसत ऊंचाई) के बीच कहीं है। अभिकथन 8 का प्रतीक होने के लिए, हमें एक नए अभिकथन पत्र की आवश्यकता होगी।

किसी भी दावे के लिए (A):

  • यदि (A) सत्य है, तो (lnot{A}) गलत है।
  • यदि (lnot{A}) सत्य है, तो (A) गलत है।

सत्य के लिए "(mathsf{T})" और असत्य के लिए "(mathsf{F})" का उपयोग करके, हम इसे एक में संक्षेपित कर सकते हैं ट्रुथ टेबल निषेध के लिए: [egin{array}{c||c} {A} और lnot{A} hline mathsf{T} & mathsf{F} mathsf{F} & mathsf {टी} end{सरणी}]

व्यायाम (PageIndex{1})

दी गई प्रतीकात्मक कुंजी का उपयोग करके, प्रत्येक अंग्रेजी-भाषा के अभिकथन का अनुवाद करें।

(M): वे जीव सूट में पुरुष हैं।
(C): वे जीव चिंपैंजी हैं।
(G): वे जीव गोरिल्ला हैं।

  1. वे जीव सूट में पुरुष नहीं हैं।
  2. ऐसा नहीं है कि वे जीव गोरिल्ला नहीं हैं।
  3. बेशक वे जीव चिंपैंजी नहीं हैं!

व्यायाम (PageIndex{2})

समान प्रतीकात्मक कुंजी का उपयोग करके, प्रत्येक प्रतीकात्मक अभिकथन का अंग्रेजी में अनुवाद करें:

  1. (जी)
  2. (lनहींएम)
  3. (lनहींlनहींसी)

और ((&))

इन दावों पर विचार करें:

  1. एडम एथलेटिक है।
  2. बारबरा एथलेटिक हैं।
  3. एडम एथलेटिक है, और बारबरा भी एथलेटिक है।

हमें के लिए अलग-अलग अभिकथन पत्रों की आवश्यकता होगी, इसलिए हम इस प्रतीकात्मक कुंजी को परिभाषित करते हैं:

(A): एडम एथलेटिक है।
(B): बारबरा एथलेटिक है।

अभिकथन 1 को (A) के रूप में दर्शाया जा सकता है।

अभिकथन 2 को (B) के रूप में दर्शाया जा सकता है।

अभिकथन 3 को "(A) और (B) के रूप में व्याख्यायित किया जा सकता है। इस दावे का पूरी तरह से प्रतीक होने के लिए, हमें एक और प्रतीक की आवश्यकता है। हम इस्तेमाल करेंगे "(&)।" हम “(A) और (B)” का अनुवाद (A& B) के रूप में करते हैं। हम इस संयोजक को "और" कहेंगे (लेकिन कई तर्कशास्त्री इसे संयोजन कहते हैं)।

ध्यान दें कि हम अभिकथन 3 में "भी" का प्रतीक करने का कोई प्रयास नहीं करते हैं। "दोनों" और "भी" जैसे शब्द इस तथ्य पर हमारा ध्यान आकर्षित करने के लिए कार्य करते हैं कि दो चीजों को जोड़ा जा रहा है। वे आगे कोई तार्किक कार्य नहीं कर रहे हैं, इसलिए हमें प्रस्तावक तर्क में उनका प्रतिनिधित्व करने की आवश्यकता नहीं है।

कुछ और उदाहरण:

4. बारबरा एथलेटिक और ऊर्जावान हैं।
5. बारबरा और एडम दोनों एथलेटिक हैं।
6. हालांकि बारबरा ऊर्जावान हैं, लेकिन वह एथलेटिक नहीं हैं।
7. बारबरा एथलेटिक है, लेकिन एडम उससे ज्यादा एथलेटिक है।

अभिकथन 4 स्पष्ट रूप से एक संयोजन है। दावा बारबरा के बारे में दो बातें कहता है, इसलिए अंग्रेजी में बारबरा को केवल एक बार संदर्भित करने की अनुमति है। कटौती का अनुवाद करते समय यह कोशिश करना आकर्षक हो सकता है: चूंकि (B) का अर्थ है "बारबरा एथलेटिक है," कोई भी दावे को "(B) और ऊर्जावान" के रूप में व्याख्या कर सकता है। यह एक गलती होगी। एक बार जब हम किसी अभिकथन के भाग को (B) के रूप में अनुवादित कर देते हैं, तो कोई और संरचना खो जाती है। (B) एक परमाणु अभिकथन है; यह सच या झूठ से ज्यादा कुछ नहीं है। इसके विपरीत, "ऊर्जावान" एक अभिकथन नहीं है; अपने आप में यह न तो सत्य है और न ही असत्य। हमें इसके बजाय "(B) और बारबरा ऊर्जावान है" के रूप में अभिकथन को स्पष्ट करना चाहिए। अब हमें प्रतीकात्मक कुंजी में एक अभिकथन पत्र जोड़ने की आवश्यकता है। मान लीजिए (E) का अर्थ है "बारबरा ऊर्जावान है।" अब अभिकथन का अनुवाद (B& E) के रूप में किया जा सकता है।

[ ext{एक अभिकथन को (A & B) के रूप में दर्शाया जा सकता है यदि इसे अंग्रेजी में "ए और बी दोनों" के रूप में व्याख्यायित किया जा सकता है}]

अभिकथन 5 दो अलग-अलग विषयों के बारे में एक बात कहता है। यह बारबरा और एडम दोनों के बारे में कहता है कि वे एथलेटिक हैं, और अंग्रेजी में हम केवल एक बार "एथलेटिक" शब्द का प्रयोग करते हैं। का अनुवाद करने में, यह महसूस करना महत्वपूर्ण है कि अभिकथन को "बारबरा एथलेटिक है, और एडम एथलेटिक है" के रूप में व्याख्या की जा सकती है। इस प्रकार, यह (B& A) के रूप में अनुवादित होता है।

अभिकथन 6 थोड़ा अधिक जटिल है। शब्द "यद्यपि" अभिकथन के पहले भाग और दूसरे भाग के बीच एक अंतर स्थापित करता है। फिर भी, यह दावा दोनों कहता है कि बारबरा ऊर्जावान है और वह एथलेटिक नहीं है। दूसरे भाग को परमाणु अभिकथन में बनाने के लिए, हमें "she" को "बारबरा" से बदलना होगा।

इसलिए हम अभिकथन ६ को इस रूप में व्याख्यायित कर सकते हैं, "दोनों बारबरा ऊर्जावान है, तथा बारबरा एथलेटिक नहीं है।" दूसरे भाग में एक निषेध है, इसलिए हम आगे की व्याख्या करते हैं: "दोनों बारबरा ऊर्जावान है तथा ऐसा नहीं है कि बारबरा एथलेटिक है। ” यह (E&lnot B) के रूप में अनुवाद करता है।

अभिकथन 7 में एक समान विपरीत संरचना है। यह अनुवाद करने के उद्देश्य से अप्रासंगिक है, इसलिए हम अभिकथन की व्याख्या इस प्रकार कर सकते हैं:दोनों बारबरा एथलेटिक है, तथा एडम बारबरा की तुलना में अधिक पुष्ट है। ” (ध्यान दें कि हम एक बार फिर सर्वनाम "she" को उसके नाम से बदल देते हैं।) हमें दूसरे भाग का अनुवाद कैसे करना चाहिए? हमारे पास पहले से ही दावा पत्र (A) है जो एडम के एथलेटिक होने और (B) के बारे में है जो बारबरा के एथलेटिक होने के बारे में है, लेकिन उनमें से कोई भी दूसरे की तुलना में अधिक एथलेटिक होने के बारे में नहीं है। हमें एक नया दावा पत्र चाहिए। मान लीजिए (M) का अर्थ है "एडम बारबरा की तुलना में अधिक पुष्ट है।" अब अभिकथन का अनुवाद (B& M) के रूप में होता है।

[ ext{अभिकथन जिन्हें "(A), लेकिन (B)" या "यद्यपि (A), (B)" का सबसे अच्छा प्रतीक "और": (A & बी)।}]

यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि अभिकथन अक्षर (A), (B), और (M) परमाणु अभिकथन हैं। के प्रतीकों के रूप में माना जाता है, उनका सत्य या असत्य होने से परे कोई अर्थ नहीं है। हमने उनका उपयोग विभिन्न अंग्रेजी भाषा के दावों का प्रतीक करने के लिए किया है जो सभी लोगों के एथलेटिक होने के बारे में हैं, लेकिन जब हम अनुवाद करते हैं तो यह समानता पूरी तरह से खो जाती है। कोई भी औपचारिक भाषा अंग्रेजी भाषा की सभी संरचना को नहीं पकड़ सकती है, लेकिन जब तक यह संरचना कटौती के लिए महत्वपूर्ण नहीं है, तब तक इसे छोड़ने से कुछ भी नहीं खोता है।

किसी भी दावे (A) और (B) के लिए,

[ ext{(A & B) सत्य है यदि और केवल तभी जब (A) और (B) दोनों सत्य हैं}]

हम इसे "और" के लिए सत्य तालिका में सारांशित कर सकते हैं: [egin{array}{c|c||c} {A} & {B} & {A}&{B} hline mathsf {T} और mathsf{T} और mathsf{T} mathsf{T} और mathsf{F} और mathsf{F} mathsf{F} और mathsf{T} और mathsf {एफ} mathsf{F} और mathsf{F} और mathsf{F} end{array}]

व्यायाम (PageIndex{3})

दी गई प्रतीकात्मक कुंजी का उपयोग करके, प्रत्येक अंग्रेजी-भाषा के अभिकथन का अनुवाद करें।

1: अवा एक इलेक्ट्रीशियन हैं।
2: हैरिसन एक इलेक्ट्रीशियन है।
एफ1: अवा एक फायर फाइटर है।
एफ2: हैरिसन एक अग्निशामक है।
एस1: अवा अपने करियर से संतुष्ट हैं।
एस2: हैरिसन अपने करियर से संतुष्ट हैं।

  1. अवा और हैरिसन दोनों इलेक्ट्रीशियन हैं।
  2. हैरिसन एक असंतुष्ट बिजली मिस्त्री है।
  3. न तो अवा और न ही हैरिसन इलेक्ट्रीशियन हैं।
  4. अवा और हैरिसन दोनों इलेक्ट्रीशियन हैं, लेकिन उनमें से किसी को भी यह संतोषजनक नहीं लगता।
  5. ऐसा नहीं हो सकता है कि हैरिसन इलेक्ट्रीशियन और फायर फाइटर दोनों है।
  6. अवा न तो इलेक्ट्रीशियन है और न ही फायर फाइटर।

व्यायाम (PageIndex{4})

[pr.RomeoLike] दी गई प्रतीकात्मक कुंजी का उपयोग करके, प्रत्येक प्रतीकात्मक अभिकथन का अंग्रेजी में अनुवाद करें।

(J): रोमियो को जूलियट पसंद है।
(एम): मर्कुटियो को जूलियट पसंद है।
(T): रोमियो को टायबाल्ट पसंद है।

  1. (एम & जे)
  2. (जे & lनहीं टी)
  3. (lनहीं एम & जे)

या ((lor))

इन दावों पर विचार करें:

  1. या तो डेनिसन मेरे साथ गोल्फ खेलेगा, या वह फिल्में देखेगा।
  2. या तो डेनिसन या एलेरी मेरे साथ गोल्फ खेलेंगे।

इन अभिकथनों के लिए हम इस प्रतीकात्मक कुंजी का उपयोग कर सकते हैं:

(D): डेनिसन मेरे साथ गोल्फ खेलेगा।
(E): एलेरी मेरे साथ गोल्फ खेलेगी।
(एम): डेनिसन फिल्में देखेंगे।

अभिकथन 1 "या तो (D) या (M)" है। इसका पूरी तरह से प्रतीक करने के लिए, हम एक नया प्रतीक पेश करते हैं। अभिकथन (D lor M) बन जाता है। हम इस संयोजक को "या" कहेंगे (लेकिन कई तर्कशास्त्री इसे कहते हैं)।

अभिकथन 2 केवल थोड़ा अधिक जटिल है। दो विषय हैं, लेकिन अंग्रेजी अभिकथन केवल एक बार क्रिया देता है। अनुवाद में, हम इसे इस रूप में व्याख्या कर सकते हैं। "या तो डेनिसन मेरे साथ गोल्फ खेलेंगे, या एलेरी मेरे साथ गोल्फ खेलेंगे।" अब यह स्पष्ट रूप से (D lor E) के रूप में अनुवादित होता है।

[ ext{एक अभिकथन को (A lor B) के रूप में दर्शाया जा सकता है यदि इसे अंग्रेजी में "या तो (A), या (B)"}]

कभी-कभी अंग्रेजी में, शब्द "या" इस संभावना को बाहर कर देता है कि दोनों विसंगतियां सत्य हैं। इसे एक्सक्लूसिव या कहा जाता है। एक एकमात्र यह स्पष्ट रूप से अभिप्रेत है जब यह एक रेस्तरां मेनू पर कहता है, "प्रवेश सूप या सलाद के साथ आते हैं।" आपके पास सूप हो सकता है; आपके पास सलाद हो सकता है; अगर तुम चाहो दोनों सूप तथा सलाद, तो आपको अतिरिक्त भुगतान करना होगा।

अन्य समय में, शब्द "या" इस संभावना की अनुमति देता है कि दोनों विच्छेद सत्य हो सकते हैं। ऊपर के मामले में शायद ऐसा ही है। मैं डेनिसन के साथ, एलेरी के साथ, या डेनिसन और एलेरी दोनों के साथ खेल सकता हूं। केवल इतना कहता है कि मैं साथ खेलूंगा कम से कम उन्हीं में से एक है। इसे एक समावेशी या कहा जाता है।

प्रतीक "(lor')' एक represents का प्रतिनिधित्व करता है समावेशी या. तो (D lor E) सत्य है यदि (D) सत्य है, यदि (E) सत्य है, या यदि (D) और (E) दोनों सत्य हैं। यह केवल तभी गलत है जब (D) और (E) दोनों झूठे हैं। हम इसे "या" के लिए सत्य तालिका के साथ सारांशित कर सकते हैं:

[egin{array}{c|c||c} {A} और {B} और {A}lor{B} hline mathsf{T} और mathsf{T} और mathsf{ टी} mathsf{T} और mathsf{F} और mathsf{T} mathsf{F} & mathsf{T} & mathsf{T} mathsf{F} & mathsf {एफ} और गणित{एफ} अंत{सरणी}]

जैसे "और," संयोजी "या" कम्यूटिव है: ({A}lor{B}) तार्किक रूप से ({B}lor{A}) के बराबर है।

[ ext{गणितीय लेखन में, "या" का हमेशा अर्थ होता है सहित या}]

ये दावे कुछ अधिक जटिल हैं:

3. या तो आपके पास सूप नहीं होगा, या आप सलाद नहीं खाएंगे।
4. आपके पास न तो सूप होगा और न ही सलाद।
5. आपको या तो सूप या सलाद मिलता है, लेकिन दोनों नहीं।

हम मानते हैं (S_1) का मतलब है कि आपको सूप मिलता है और (S_2) का मतलब है कि आपको सलाद मिलता है।

अभिकथन ३ को इस प्रकार समझा जा सकता है: "या तो" ऐसा नहीं है कि आपको सूप मिलता है, या ऐसा नहीं है कि आपको सलाद मिलता है।" इसका अनुवाद करने के लिए "या" और "नहीं" दोनों की आवश्यकता होती है। यह (lनहींS_1 lor lनहींS_2) बन जाता है।

अभिकथन 4 को भी निषेधन की आवश्यकता है। इसे इस प्रकार समझा जा सकता है, "ऐसा नहीं है कि या तो आप सूप लें या सलाद लें।" हम यह इंगित करने के लिए कोष्ठक का उपयोग करते हैं कि "नहीं" पूरे दावे को नकारता है (S_1 lor S_2), न कि केवल (S_1) या (S_2): "ऐसा नहीं है कि ((S_1 lor S_2) ))।" यह बस (lnot (S_1 lor S_2)) बन जाता है।

ध्यान दें कि कोष्ठक यहाँ महत्वपूर्ण कार्य कर रहे हैं। अभिकथन (lnot S_1 lor S_2) का अर्थ होगा "या तो आपके पास सूप नहीं होगा, या आप सलाद लेंगे।"

है एक एकमात्र. इस कथन को हम दो भागों में बाँट सकते हैं। पहला भाग कहता है कि आपको एक या दूसरा मिलता है। हम इसका अनुवाद ((S_1 lor S_2)) के रूप में करते हैं। दूसरा भाग कहता है कि आपको दोनों नहीं मिलते। हम इसे इस तरह से समझा सकते हैं, "ऐसा नहीं है कि आप दोनों को सूप मिले और आपको सलाद मिले।" "नहीं" और "और" दोनों का उपयोग करके हम इसका अनुवाद (lnot(S_1 & S_2)) के रूप में करते हैं। अब हमें केवल दो भागों को एक साथ रखना है। जैसा कि हमने ऊपर देखा, "लेकिन" का अनुवाद आमतौर पर "और" के रूप में किया जा सकता है। इस प्रकार अभिकथन 5 का अनुवाद ((S_1 lor S_2) & lnot(S_1 & S_2)) के रूप में किया जा सकता है।

हालांकि "(lor')' एक है समावेशी या, पिछला पैराग्राफ दर्शाता है कि हम प्रतीक कर सकते हैं a एकमात्र में । हमें इसे करने के लिए बस एक से अधिक संयोजकों की आवश्यकता है।

व्यायाम (PageIndex{5})

दी गई प्रतीकात्मक कुंजी का उपयोग करके, प्रत्येक अंग्रेजी-भाषा के अभिकथन का अनुवाद करें।

(M): वे जीव सूट में पुरुष हैं।
(C): वे जीव चिंपैंजी हैं।
(G): वे जीव गोरिल्ला हैं।

  1. वे जीव सूट में पुरुष हैं, या वे नहीं हैं।
  2. वे जीव या तो गोरिल्ला या चिंपैंजी हैं।
  3. या तो वे जीव चिंपैंजी हैं, या वे गोरिल्ला नहीं हैं।

व्यायाम (PageIndex{6})

एक प्रतीकात्मक कुंजी दें और निम्नलिखित अभिकथनों को .

  1. या तो ऐलिस या बॉब एक ​​जासूस है, लेकिन दोनों नहीं।
  2. या तो बॉब एक ​​जासूस है, या यह मामला है कि कोड को तोड़ा गया है और जर्मन दूतावास हंगामे में है।
  3. या तो कोड तोड़ा गया है या नहीं, लेकिन जर्मन दूतावास की परवाह किए बिना हंगामे में है।
  4. ऐलिस जासूस हो भी सकती है और नहीं भी, लेकिन किसी भी मामले में कोड तोड़ा गया है।

व्यायाम (PageIndex{7})

दी गई प्रतीकात्मक कुंजी का उपयोग करके, प्रत्येक अभिकथन का अंग्रेजी में अनुवाद करें।

J: रोमियो को जूलियट पसंद है।
M: Mercutio को जूलियट पसंद है।
T: रोमियो को टायबाल्ट पसंद है।

  1. (एम lor टी)
  2. (टी lor (lनहींजे & एम))
  3. (lnot (M lor J) & lnot T)

मतलब ((Rightarrow))

निम्नलिखित अभिकथनों के लिए, मान लें कि (R) का अर्थ है "आप लाल तार काट देंगे" और (B) का अर्थ है "बम फट जाएगा।"

  1. लाल तार काटोगे तो बम फट जाएगा।
  2. लाल तार काटने पर बम फट जाएगा।
  3. लाल तार काटने पर ही बम फटेगा।

अभिकथन 1 का आंशिक रूप से "यदि (R), तो (B)" के रूप में अनुवाद किया जा सकता है। हम इसे "(R) का अर्थ है (B)" के रूप में फिर से लिख सकते हैं। हम "अर्थ" का प्रतिनिधित्व करने के लिए "(Rightarrow)" प्रतीक का उपयोग करेंगे: अभिकथन (RRightarrow B) बन जाता है। हम इस संयोजक को "मतलब" या "अगर-तब" कहते हैं (लेकिन कई तर्कशास्त्री इसे सशर्त कहते हैं)। बाईं ओर के अभिकथन ((R) इस उदाहरण में) को परिकल्पना कहा जाता है, और दाईं ओर ((B)) के अभिकथन को निष्कर्ष कहा जाता है।

अभिकथन 2 हमें बताता है कि यदि आप लाल तार काटेंगे, तो बम फट जाएगा। इस प्रकार, यह तार्किक रूप से अभिकथन 1 के बराबर है, इसलिए इसे (R Rightarrow B) के रूप में दर्शाया जा सकता है।

अभिकथन ३ भी एक सशर्त अभिकथन है जो हमें बताता है कि यदि कुछ अन्य सत्य है तो कुछ सत्य होना चाहिए। चूंकि शब्द "if" अभिकथन के दूसरे भाग में प्रकट होता है, इसलिए इसे उसी तरह अभिकथन 1 और 2 के रूप में दर्शाना आकर्षक हो सकता है। यह एक गलती होगी।

निहितार्थ (RRightarrow B) कहता है कि अगर (R) सच थे, फिर (B) भी सत्य होगा। यह नहीं कहता है कि आप लाल तार काट रहे हैं केवल जिससे बम फट सकता है। कोई और तार काट सकता है, या बम टाइमर पर हो सकता है। अभिकथन (RRightarrow B) इस बारे में कुछ नहीं कहता है कि यदि (R) गलत है तो क्या अपेक्षा की जाए। अभिकथन 3 अलग है। यह कहता है कि केवल जिन शर्तों के तहत बम विस्फोट होगा, वह यह है कि आप लाल तार काट लें; यानी अगर बम फटता है, तो आपने तार काट दिया होगा। जैसे, अभिकथन 3 को (B Rightarrow R) के रूप में दर्शाया जाना चाहिए।

पैराफ्रेश्ड अभिकथन " (A) केवल अगर (B)" तार्किक रूप से "यदि (A), तो (B)" के बराबर है।

"यदि (A), तो (B)" का अर्थ है कि यदि (A) सत्य है, तो ऐसा ही (B) है। तो हम जानते हैं कि यदि परिकल्पना सत्य है, लेकिन निष्कर्ष गलत है, तो निहितार्थ "यदि (A), तो (B)" गलत है। (उदाहरण के लिए, यदि आप लाल तार काटते हैं, लेकिन बम नहीं फटता है, तो अभिकथन 1 स्पष्ट रूप से गलत है।) अब हम अन्य संभावित स्थितियों पर विचार करते हैं, और यह निर्धारित करते हैं कि क्या अभिकथन "यदि (A), तो ( बी)” सच है या नहीं।

  • मान लीजिए, उदाहरण के लिए, कि आप करते हैं नहीं लाल तार काट दो। तब अभिकथन 1 झूठ नहीं है, चाहे बम फटे या नहीं, क्योंकि अभिकथन इस मामले में कुछ भी वादा नहीं करता है। इस प्रकार, हम इस मामले में अभिकथन 1 को सत्य मानते हैं। सामान्य तौर पर, यदि ({A}) गलत है, तो निहितार्थ "({A} Rightarrow {B})" सत्य है। (इससे कोई फ़र्क नहीं पड़ता कि ({B}) सच है या नहीं।)

  • विचार करने के लिए एकमात्र शेष मामला है जब आप लाल तार काटते हैं और बम फट जाता है। इस मामले में अभिकथन 1 ने सच कहा है। सामान्य तौर पर, यदि ({A}) और ({B}) सत्य हैं, तो निहितार्थ "({A} Rightarrow {B})" सत्य है।

[ ext{A (Rightarrow) B सत्य है जब तक कि A सत्य नहीं है और B गलत है। उस स्थिति में, निहितार्थ गलत है।}]

हम इसे "अर्थ" के लिए एक सत्य तालिका के साथ सारांशित कर सकते हैं। [egin{array}{c|c||c} {A} और {B} और {A}Rightarrow{B} hline mathsf{T} और mathsf{T} और mathsf{ टी} mathsf{T} और mathsf{F} और mathsf{F} mathsf{F} & mathsf{T} & mathsf{T} mathsf{F} & mathsf {एफ} और गणित{टी} अंत{सरणी}]

तर्क छात्र कभी-कभी इस तथ्य से भ्रमित होते हैं कि ({A}Rightarrow {B}) सत्य है जब भी ({A}) गलत है, लेकिन यह वास्तव में काफी स्वाभाविक है। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि एक शिक्षक वादा करता है, "यदि आप सभी गृहकार्य करते हैं, तो आप पाठ्यक्रम पास कर लेंगे।" एक छात्र जो सभी गृहकार्य करने में विफल रहता है, वह शिक्षक पर झूठ का आरोप नहीं लगा सकता, चाहे वह पाठ्यक्रम पास करता हो या नहीं।

इसके अलावा, लोग अक्सर व्यंग्यात्मक रूप से बोलते समय इस सिद्धांत का उपयोग करते हैं। एक उदाहरण है अभिकथन, "यदि रूडी टीम का सर्वश्रेष्ठ खिलाड़ी है, तो सूअर उड़ सकते हैं।" हम सभी जानते हैं कि सूअर उड़ नहीं सकते, लेकिन, तार्किक रूप से, यह कथन तब तक सत्य है जब तक रूडी है नहीं टीम के सर्वश्रेष्ठ खिलाड़ी।

संयोजी "अर्थ" है नहीं कम्यूटेटिव: आप अभिकथन के अर्थ को बदले बिना परिकल्पना और निष्कर्ष की अदला-बदली नहीं कर सकते, क्योंकि ऐसी स्थिति का पता लगाना आसान है जिसमें ({A}Rightarrow{B}) सत्य है, लेकिन ({B} राइटएरो{A}) गलत है। (अर्थात्, मान लीजिए कि असत्य है और सत्य है।)

आइए हम उस उदाहरण पर वापस जाएं जिसके साथ हमने "(Rightarrow)" की अपनी चर्चा शुरू की, जिसमें (R) अभिकथन है "आप लाल तार काट देंगे," और (B) का अर्थ है " बम फट जाएगा।" अंग्रेजी में (R Rightarrow B) कहने के कई अलग-अलग तरीके हैं। यहां कुछ तरीके दिए गए हैं; इन सबका मतलब एक ही है!

  • लाल तार काटोगे तो बम फट जाएगा।
  • लाल तार काटने का मतलब है कि बम फट जाएगा।
  • जिस भी परिस्थिति में आप लाल तार काटेंगे, बम फट जाएगा।
  • जब भी आप लाल तार काटेंगे, बम फट जाएगा।
  • जब भी आप लाल तार काटेंगे तो बम फट जाएगा।
  • बम विस्फोट लाल तार काटने का एक आवश्यक परिणाम है।
  • आप लाल तार काटना यह सुनिश्चित करने के लिए पर्याप्त है कि बम फट जाएगा।
  • आप लाल तार काटने की गारंटी देते हैं कि बम फट जाएगा।
  • आप लाल तार तभी काटते हैं जब बम फट जाएगा।
  • यदि बम नहीं फटता है, तो आपको लाल तार नहीं काटना चाहिए।
  • या तो तुम लाल तार नहीं काटोगे, या बम फट जाएगा।

व्यायाम (PageIndex{8})

दी गई प्रतीकात्मक कुंजी का उपयोग करके, प्रत्येक अंग्रेजी-भाषा के अभिकथन का अनुवाद करें।

(A): मिस्टर ऐस की हत्या कर दी गई थी।
(B): बटलर ने हत्या की।
(C): रसोइए ने हत्या की।
(D): डचेस झूठ बोल रही है।
(E): मिस्टर एज की हत्या कर दी गई थी।
(F): हत्या का हथियार एक फ्राइंग पैन था।

  1. अगर मिस्टर ऐस की हत्या हुई थी, तो रसोइए ने किया।
  2. अगर मिस्टर एज की हत्या हुई थी, तो रसोइए ने नहीं किया।
  3. अगर हत्या का हथियार फ्राइंग पैन था, तो अपराधी रसोइया रहा होगा।
  4. यदि हत्या का हथियार फ्राइंग पैन नहीं था, तो अपराधी या तो रसोइया था या बटलर।
  5. या तो डचेस झूठ बोल रही है, या वह मिस्टर एज थी जिसकी हत्या कर दी गई थी।
  6. यदि मिस्टर ऐस की हत्या कर दी गई थी, तो उसे फ्राइंग पैन के साथ किया गया था।
  7. रसोइए ने मिस्टर एज की हत्या कर दी, लेकिन उसने फ्राइंग पैन का इस्तेमाल नहीं किया।

व्यायाम (PageIndex{9})

एक प्रतीकात्मक कुंजी दें और निम्नलिखित अभिकथनों को .

  1. अगर ग्रेगोर पहले बेस खेलता है, तो टीम हार जाएगी।
  2. यदि ग्रेगोर या इवान पहला आधार खेलता है, तो कोई चमत्कार नहीं होगा।
  3. यदि न तो ग्रेगर और न ही इवान पहले आधार खेलते हैं, तो चमत्कार होगा।
  4. अगर कोई चमत्कार नहीं हुआ तो टीम हार जाएगी।
  5. अगर कोई चमत्कार होता है, तो ग्रेगोर की माँ कुकीज़ नहीं बेक करेंगी।

व्यायाम (PageIndex{10})

प्रत्येक कटौती के लिए, एक प्रतीकात्मक कुंजी लिखें और कटौती का यथासंभव अनुवाद करें।

  1. अगर डोरोथी सुबह पियानो बजाता है, तो रोजर कर्कश उठता है। डोरोथी विचलित न होने पर सुबह पियानो बजाती है। तो अगर रोजर कर्कश नहीं उठता है, तो डोरोथी को विचलित होना चाहिए।
  2. मंगलवार को बारिश होगी या हिमपात। अगर बारिश होती है, तो नेविल दुखी होगा। यदि हिमपात होता है, तो नेविल ठंडा हो जाएगा। इसलिए नेविल मंगलवार को या तो उदास रहेगा या फिर ठंडा।
  3. अगर ज़ूग को अपने काम करने की याद आती है, तो चीजें साफ हैं लेकिन साफ-सुथरी नहीं हैं। अगर वह भूल गया, तो चीजें साफ-सुथरी हैं लेकिन साफ ​​नहीं हैं। इसलिए, चीजें या तो साफ-सुथरी हैं या साफ-लेकिन दोनों नहीं।

इफ्फ ((बाएं तीर))

इन दावों पर विचार करें:

  1. बोर्ड पर आकृति एक त्रिभुज है यदि इसकी ठीक तीन भुजाएँ हैं।
  2. बोर्ड पर आकृति एक त्रिभुज तभी होती है जब उसकी ठीक तीन भुजाएँ हों।
  3. बोर्ड पर आकृति एक त्रिभुज है यदि और केवल तभी जब इसकी ठीक तीन भुजाएँ हों।

मान लीजिए (T) का अर्थ है "आकृति एक त्रिभुज है" और (S) का अर्थ है "आकृति में ठीक तीन भुजाएँ हैं।"

अभिकथन 1 को इस रूप में दोहराया जा सकता है, "यदि आकृति में ठीक तीन भुजाएँ हैं, तो यह एक त्रिभुज है।" तो इसका अनुवाद (SRightarrow T) के रूप में किया जा सकता है।

दावा 2 महत्वपूर्ण रूप से अलग है। हमें बताता है कि इसका अनुवाद (TRightarrow S) के रूप में किया जा सकता है।

अभिकथन ३ दो बातें कहता है: कि "(T) सत्य है यदि (S) सत्य है" तथा कि "(T) केवल तभी सत्य है जब (S) सत्य है।" पहली छमाही अभिकथन 1 है, और दूसरी छमाही अभिकथन 2 है; इस प्रकार, इसका अनुवाद [(SRightarrow T) & (T Rightarrow S) .] के रूप में किया जा सकता है। हालांकि, यह "अगर और केवल अगर" इतनी बार आता है कि इसका अपना नाम है। हम इस संयोजक को "," कहते हैं, जो "अगर और केवल अगर" के लिए छोटा है (लेकिन कई तर्कशास्त्री इसे एक द्विशताब्दी कहते हैं)।

क्योंकि हम हमेशा (({A}Leftrightarrow{B}) के बजाय ((({A}Rightarrow{B})&({B}Rightarrow{A})) लिख सकते हैं, हम सख्ती से नहीं करते हैं बोला जा रहा है ज़रूरत "iff" के लिए एक नया प्रतीक पेश करने के लिए। फिर भी, यह इतनी बार उपयोगी है कि इसे आमतौर पर बुनियादी तार्किक संयोजकों में से एक के रूप में स्वीकार किया जाता है।

[ ext{A (Leftrightarrow) B सत्य है यदि और केवल यदि A और B का सत्य मान समान है (या तो दोनों सत्य हैं या दोनों झूठे हैं)।}]

यह "iff" के लिए सत्य तालिका है: [egin{array}{c|c||c} {A} और {B} और {A}Leftrightarrow{B} hline mathsf{T} और mathsf{T} और mathsf{T} mathsf{T} और mathsf{F} और mathsf{F} mathsf{F} और mathsf{T} और mathsf{F} mathsf{F} और mathsf{F} और mathsf{T} end{array}]

व्यायाम (PageIndex{11})

दी गई प्रतीकात्मक कुंजी का उपयोग करके, प्रत्येक अंग्रेजी-भाषा के अभिकथन का अनुवाद करें।

1: अवा एक इलेक्ट्रीशियन हैं।
2: हैरिसन एक इलेक्ट्रीशियन है।
एफ1: अवा एक फायर फाइटर है।
एफ2: हैरिसन एक अग्निशामक है।
एस1: अवा अपने करियर से संतुष्ट हैं।
एस2: हैरिसन अपने करियर से संतुष्ट हैं।

  1. अगर अवा इलेक्ट्रीशियन नहीं है, तो हैरिसन भी नहीं है, लेकिन अगर वह है, तो वह भी है।
  2. अवा अपने करियर से तभी संतुष्ट होती है जब हैरिसन उसके करियर से संतुष्ट न हो।
  3. हैरिसन और अवा दोनों अग्निशामक हैं यदि और केवल यदि उनमें से कोई भी इलेक्ट्रीशियन नहीं है।

तार्किक संयोजी

तर्क में, a तार्किक संयोजक (जिसे . भी कहा जाता है तार्किक संचालिका, संवेदनशील संयोजी, या संवेदनशील ऑपरेटर) एक तार्किक स्थिरांक है जिसका उपयोग दो या दो से अधिक सूत्रों को जोड़ने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए प्रोपोज़िशनल लॉजिक के सिंटैक्स में, बाइनरी कनेक्टिव दो परमाणु सूत्रों P और Q को जोड़ने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है, जो जटिल फॉर्मूला P ∨ Q < डिस्प्लेस्टाइल पीलोर क्यू>.

सामान्य संयोजकों में निषेध, वियोग, संयोजन और निहितार्थ शामिल हैं। शास्त्रीय तर्क की मानक प्रणालियों में, इन संयोजकों की व्याख्या सत्य कार्यों के रूप में की जाती है, हालांकि उन्हें गैर-शास्त्रीय तर्कशास्त्र में विभिन्न प्रकार की वैकल्पिक व्याख्याएं प्राप्त होती हैं। उनकी शास्त्रीय व्याख्याएं प्राकृतिक भाषा के भावों जैसे अंग्रेजी "नहीं", "या", "और", और "अगर" के अर्थ के समान हैं, लेकिन समान नहीं हैं। प्राकृतिक भाषा संयोजकों और शास्त्रीय तर्क के बीच विसंगतियों ने प्राकृतिक भाषा अर्थ के साथ-साथ उन दृष्टिकोणों के लिए गैर-शास्त्रीय दृष्टिकोणों को प्रेरित किया है जो एक मजबूत व्यावहारिकता के साथ शास्त्रीय रचनात्मक शब्दार्थ को जोड़ते हैं।

एक लॉजिकल कनेक्टिव, कंडीशनल ऑपरेटर कहे जाने वाले प्रोग्रामिंग भाषाओं में आमतौर पर उपयोग किए जाने वाले सिंटैक्स के समान है, लेकिन इसके समकक्ष नहीं है। [1] [ बेहतर स्रोत की जरूरत ]


1.4: संयोजक - गणित

तर्क: कथन, निषेध, परिमाणक, सत्य सारणी

बयान
एक कथन सत्य मूल्य वाला एक घोषणात्मक वाक्य है।

सभी वकील बेईमान हैं।

आज मेरी गणित की क्लास है और आज शनिवार है।

ऊपर सूचीबद्ध प्रत्येक वाक्य के लिए (जो काट दिया गया है उसे छोड़कर) आपको इसका सत्य मान निर्धारित करने में सक्षम होना चाहिए (अर्थात, आपको यह तय करने में सक्षम होना चाहिए कि कथन सही है या गलत)।

तर्क कथनों का प्रतिनिधित्व करने के लिए p, q, r, s जैसे छोटे अक्षरों का उपयोग करना पारंपरिक है। ऊपर सूचीबद्ध कथनों का उल्लेख करते हुए, आइए

प्रश्न: आज मेरी गणित की कक्षा है।

v: सभी वकील बेईमान हैं।

नोट: इस पाठ्यक्रम में, जब हम "बेईमान" जैसे व्यक्तिपरक या मूल्य-आधारित शब्द (एक राय) का सामना करते हैं, तो हम इस चर्चा के लिए मान लेंगे कि उस शब्द को सटीक रूप से परिभाषित किया गया है।

"all" "कुछ" और "none" शब्दों को क्वांटिफ़ायर कहा जाता है।

इनमें से एक या अधिक शब्दों वाला एक बयान एक मात्रात्मक बयान है।

नोट: "some" शब्द का अर्थ है "कम से कम एक"

अपने दैनिक अनुभव के अनुसार तय करें कि प्रत्येक कथन सत्य है या असत्य:

2. कुछ पुस्तकों में कठोर आवरण होते हैं।

3. कोई भी अमेरिकी राष्ट्रपति जॉर्जिया के निवासी नहीं थे।

5. कुछ बिल्लियाँ स्तनधारी नहीं हैं।

सच्ची कहानी: 1999 के वसंत में, फ्लोरिडा के टैम्पा में एक व्यक्ति को पेट के कैंसर का पता चला था। उन्होंने कैंसर को दूर करने के लिए सर्जरी करवाई। इस प्रक्रिया के दौरान, सर्जिकल टीम ने पाया कि मूल निदान गलत होने के बाद भी वास्तव में कोई कैंसर नहीं था। सर्जरी के बाद, चिकित्सकों ने मरीज से कहा "सभी कैंसर हटा दिया गया है।" क्या चिकित्सकों ने झूठ बोला था?

निषेध
यदि p एक कथन है, तो p का निषेधन एक अन्य कथन है जो p के ठीक विपरीत है।

एक कथन p के निषेधन को निरूपित किया जाता है

"नहीं" शब्द के रूप में पढ़ा जाता है।
(" नहीं पी ")।

एक कथन p और उसका निषेध

p में हमेशा विपरीत सत्य मान होंगे ऐसी स्थिति की कल्पना करना असंभव है जिसमें एक कथन और उसके निषेध का सत्य मान समान होगा।

उदाहरण:
मान लीजिए p कथन है "आज शनिवार है।"

p कथन है "आज शनिवार नहीं है।"

किसी भी दिन, यदि p सत्य है तो

p असत्य होगा यदि p असत्य है, तो

ऐसी स्थिति की कल्पना करना असंभव है जिसमें p और

पी एक साथ सच हैं
ऐसी स्थिति की कल्पना करना असंभव है जिसमें p और

पी एक साथ झूठे हैं।

परिमाणित कथनों के निषेध

तथ्य: "कोई नहीं" "कम से कम एक" . के विपरीत है

उदाहरण: "कुछ कुत्ते पूडल हैं" का निषेध है "कोई कुत्ता पूडल नहीं है"।

ध्यान दें कि "कुछ कुत्ते पूडल होते हैं" एक कथन है जो हमारे दैनिक अनुभव के अनुसार सत्य है, और "कोई कुत्ता पूडल नहीं है" एक ऐसा कथन है जो हमारे दैनिक अनुभव के अनुसार गलत है।

सामान्य रूप में:
"कुछ A, B" का निषेध है "कोई A, B नहीं है"

(नोट: इसे " भी कहा जा सकता है "सभी ए बी के विपरीत हैं," हालांकि यह निर्माण कभी-कभी अस्पष्ट लगता है।)

" कुछ पुरानी कारें विश्वसनीय होती हैं" . का निषेध लिखें

परिमाणित कथनों के अधिक निषेध

तथ्य: "कुछ नहीं हैं" " के विपरीत है"

उदाहरण: "सभी बकरियां स्तनधारी हैं" का निषेध " है "कुछ बकरियां स्तनधारी नहीं हैं."

ध्यान दें कि "सभी बकरियां स्तनधारी हैं" एक ऐसा कथन है जो हमारे दैनिक अनुभव के अनुसार सत्य है, जबकि " कुछ बकरियां स्तनधारी नहीं होतीं" एक ऐसा कथन है जो हमारे दैनिक अनुभव के अनुसार गलत है।

वास्तव में, ऐसी स्थिति की कल्पना करना तार्किक रूप से असंभव है जिसमें उन दो कथनों का सत्य मूल्य समान हो।

सामान्य तौर पर, "सभी A, B" का निषेध है "कुछ A, B नहीं हैं" है

" सभी वकील चतुर होते हैं" . का निषेध लिखें

"कोई केकड़ा पागल नहीं होता" . का निषेध लिखें

WWW नोट:
परिमाणित कथनों के निषेधों को पहचानने के अभ्यास के लिए, द क्वांटिफ़ायर-एर का प्रयास करें।

"" " " " " " " " "if शब्द। तब" तार्किक संयोजकों के उदाहरण हैं। वे ऐसे शब्द हैं जिनका उपयोग दो सरल कथनों को एक अधिक जटिल यौगिक कथन बनाने के लिए जोड़ने के लिए किया जा सकता है।

यौगिक कथनों के उदाहरण:

"मैं गणित की कक्षा ले रहा हूं लेकिन मैं गणित का प्रमुख नहीं हूं।"

" अगर मैं एमजीएफ११०६ पास करता हूं और मैं एमजीएफ११०७ पास करता हूं तो मेरी उदार अध्ययन गणित की आवश्यकता पूरी हो जाएगी।"

समतुल्य विवरण
कोई भी दो कथन p और q तार्किक रूप से समतुल्य हैं यदि उनके बिल्कुल समान अर्थ हैं। इसका मतलब यह है कि किसी भी बोधगम्य स्थिति में p और q का सत्य मान हमेशा समान होगा।

यदि p और q समतुल्य कथन हैं, तो ऐसी स्थिति की कल्पना करना तार्किक रूप से असंभव है जिसमें दोनों कथनों के सत्य मान भिन्न हों।

"आज मेरी गणित की कक्षा है और आज शनिवार है"

"आज शनिवार है और आज मेरी गणित की कक्षा है।"

यह समानता शब्द "और" के अर्थ की हमारी रोजमर्रा की समझ से सरलता से अनुसरण करती है।

"यह और वह" का अर्थ "वह और यह" जैसा ही है।

इसी तरह,
"मेरे पास एक कुत्ता है या मेरे पास एक बिल्ली है"

"मेरे पास एक बिल्ली है या मेरे पास एक कुत्ता है"

यह तुल्यता "या" शब्द के अर्थ की हमारी रोजमर्रा की समझ से सरलता से अनुसरण करती है।

"यह या वह" का अर्थ "वह या यह" जैसा ही है।

तार्किक तुल्यता इस प्रतीक द्वारा निरूपित की जाती है:

उदाहरण 1.4.1 #4 और #5 का हवाला देते हुए हमने देखा कि स्टेटमेंट
"कुछ बिल्लियाँ स्तनधारी हैं" सत्य था, जबकि "कुछ बिल्लियाँ स्तनधारी नहीं हैं" कथन गलत था। इसका अर्थ है कि वे दो कथन समतुल्य नहीं हैं।

ऊपर उद्धृत कथनों के युग्म इस सामान्य तथ्य को स्पष्ट करते हैं:

संयोजन और वियोग

यदि p, q कथन हैं, तो उनका संयोजन कथन "p और q" . है

फिर है "मेरे पास एक पैसा है और मेरे पास एक निकल है।"

सामान्य तौर पर, सत्य होने के लिए, p और q दोनों का सत्य होना आवश्यक है।

उदाहरण: "तल्लाहसी फ्लोरिडा में है और ऑरलैंडो जॉर्जिया में है" एक झूठा बयान है।


शब्द लेकिन यह भी एक संयोजन है, इसे कभी-कभी नकारात्मक वाक्यांश से पहले प्रयोग किया जाता है।

मैं गिर गया हूँ और मैं उठ नहीं सकता"

"मैं गिर गया हूं, लेकिन उठ नहीं सकता।"

किसी भी मामले में, यदि p "मैं गिर गया" है और q "I उठ सकता है" है, तो ऊपर दिए गए संयोजन का प्रतीक है

यदि p, q कथन हैं, तो उनका वियोजन कथन "p या q." . है

मान लीजिए p "आज मंगलवार है"

फिर कथन है "आज मंगलवार है या १ + १ = २."

एक विच्छेदन के सत्य होने के लिए, इसके दो भागों में से कम से कम एक भाग सत्य होना चाहिए।जब दोनों भाग झूठे होते हैं तो केवल एक ही समय में एक विच्छेदन झूठा होता है।

कथन "आज मंगलवार है या १ + १ = २" सत्य है।

संयोजन ("") और वियोजन ("") के लिए समानताएं

हमारे दैनिक उपयोग के अनुसार "और" और "quot और हमारे पास निम्नलिखित समानताएं हैं:

1. "p और q" "q और p" . के बराबर है


2. "p या q" "q या p" . के बराबर है

"मेरे पास एक पैसा है या मेरे पास एक निकल है"

"मेरे पास एक निकल है या मेरे पास एक पैसा है।"

"बारिश हो रही है और बर्फबारी नहीं हो रही है"

" बर्फ़बारी नहीं हो रही है और बारिश हो रही है।"

मान लीजिए p और q सत्य कथन हैं, जबकि r एक गलत कथन है। का सत्य मान ज्ञात कीजिए

उदाहरण के लिए समाधान 1.4.6 #2

हमें वह कथन दिया गया है जहाँ q सत्य है, r असत्य है। चर q के लिए मान T और चर r के लिए मान F को प्रतिस्थापित करें:

अब, कोष्ठक के अंदर व्यंजक का मूल्यांकन करें।

एक संयोजन केवल उस स्थिति में सत्य होता है जहां इसके दोनों सरल भाग सत्य होते हैं, इसलिए इस मामले में कोष्ठक के अंदर अभिव्यक्ति झूठी है।

अब यह कथन सरल हो गया है:

असत्य के निषेध का अर्थ है असत्य के विपरीत, जो सत्य है।

तो, दी गई शर्तों के तहत दिए गए कथन का सत्य मान सत्य है।

WWW नोट:
प्रतीकात्मक बयानों के सत्य मूल्यों से जुड़ी असीमित अभ्यास समस्याओं के लिए, मिस्टर वूलैंड के होम पेज पर जाएं और द लॉजिकाइज़र का प्रयास करें


नोट: आप इसे आजमाने से पहले यूनिट 1 मॉड्यूल 5 को पढ़ने के बाद तक प्रतीक्षा करना चाह सकते हैं।

एक सत्य तालिका एक उपकरण है जो हमें यौगिक तर्क कथनों का विश्लेषण और तुलना करने की अनुमति देता है।

प्रतीकात्मक कथन पर विचार करें: .

यह कथन सत्य है या असत्य इस बात पर निर्भर करता है कि इसके परिवर्तनशील भाग सत्य हैं या असत्य। बाद में, हम इस कथन के लिए एक सत्य तालिका बनाएंगे।

इस कथन के लिए एक सत्य तालिका चरों के सत्य या असत्य होने के प्रत्येक संभावित संयोजन को ध्यान में रखेगी, और प्रत्येक मामले में यौगिक कथन का सत्य मान दिखाएगी।

परिचय के रूप में, हम इन दो कथनों के लिए सत्य सारणी बनाएंगे

उदाहरण के लिए समाधान 1.4.7 #1

यहाँ तालिका का विवरण दिया गया है। शीर्षक: पी, क्यू, पी और क्यू। पहली पंक्ति: टी, टी, टी। दूसरी पंक्ति: टी, एफ, एफ। तीसरी पंक्ति: एफ, टी, एफ। चौथी पंक्ति: एफ, एफ, एफ।

उदाहरण के लिए समाधान 1.4.7 #2

यहाँ तालिका का विवरण दिया गया है। शीर्षक: पी, क्यू, पी या क्यू। पहली पंक्ति: टी, टी, टी। दूसरी पंक्ति: टी, एफ, टी। तीसरी पंक्ति: एफ, टी, टी। चौथी पंक्ति: एफ, एफ, एफ।

एक यौगिक कथन के लिए एक सत्य तालिका बनाने के मूल नियम:

1. सत्य तालिका में पंक्तियों की संख्या यौगिक कथन में मूल चरों की संख्या पर निर्भर करती है। आवश्यक पंक्तियों की संख्या निर्धारित करने के लिए, कथन में मूल चरों की संख्या की गणना करें, लेकिन एक चर की कई घटनाओं की पुन: गणना न करें।

4 चर--16 पंक्तियाँ और आगे।

2. एक सत्य तालिका में स्तंभों की संख्या कथन में तार्किक संयोजकों की संख्या पर निर्भर करती है।

ए। प्रत्येक मूल चर के लिए एक कॉलम होगा और

B. अन्य स्तंभों की संख्या निर्धारित करने के लिए, कथन में तार्किक संयोजकों की संख्या गिनें, एक ही संयोजक के एकाधिक आवृत्तियों को फिर से गिनें।

प्रत्येक मूल चर के लिए स्तंभों के अतिरिक्त, तार्किक संयोजक की प्रत्येक घटना के लिए आमतौर पर एक स्तंभ होगा।

3. शुरुआती कॉलम भरे गए हैं ताकि मूल चर के हर संभव संयोजन के सही या गलत होने पर ध्यान दिया जा सके। प्रत्येक पंक्ति संभावित संयोजनों में से एक का प्रतिनिधित्व करती है।

4. सत्य तालिका में किसी अन्य कॉलम को भरने के लिए, आपको पिछले कॉलम या कॉलम का संदर्भ लेना होगा।

निम्नलिखित कथनों के लिए सत्य सारणी बनाएं:

इस तालिका का विवरण: चार पंक्तियों और चार स्तंभों वाली एक तालिका।
कॉलम शीर्षक: p, q, q नहीं, p या नहीं q।
पहली पंक्ति: टी, टी, एफ, टी।
दूसरी पंक्ति: टी, एफ, टी, टी।
तीसरी पंक्ति: एफ, टी, एफ, एफ।
चौथी पंक्ति: एफ, एफ, टी, टी।
उदाहरण के लिए समाधान देखें 1.4.8 #2

WWW नोट:
इस तालिका का विवरण: चार पंक्तियों और इस प्रकार के स्तंभों वाली एक तालिका।
कॉलम शीर्षक: पी, क्यू, पी नहीं, पी और क्यू नहीं, नहीं (पी और क्यू नहीं), क्यू या नहीं (पी और क्यू नहीं)।
पहली पंक्ति: टी, टी, एफ, एफ, टी, टी।
दूसरी पंक्ति: टी, एफ, एफ, एफ, टी, टी।
तीसरी पंक्ति: एफ, टी, टी, टी, एफ, टी।
चौथी पंक्ति: एफ, एफ, टी, एफ, टी, टी।
ट्रुथ टेबल से जुड़ी असीमित अभ्यास समस्याओं के लिए, मिस्टर वूलैंड के होम पेज पर जाएं और द ट्रुथ टेबलर को आजमाएं


नोट: आप इसे आजमाने से पहले यूनिट 1 मॉड्यूल 5 को पढ़ने के बाद तक प्रतीक्षा करना चाह सकते हैं।

पिछले उदाहरण में कथन के लिए सत्य तालिका का उल्लेख करते हुए: ध्यान दें कि उस कथन के लिए कॉलम केवल "सच" दिखाता है इसका मतलब यह है कि यह कभी भी संभव नहीं है कि फॉर्म का एक बयान झूठा हो।

एक तनातनी एक ऐसा कथन है जो अपनी तार्किक संरचना (इसकी वाक्य रचना) के कारण संभवतः गलत नहीं हो सकता है।

कथन एक तनातनी का एक उदाहरण है।

क्या कथन एक तनातनी है?

इस प्रश्न का उत्तर हम एक सत्य सारणी बनाकर दे सकते हैं।

क्या कथन एक तनातनी है?

इस प्रश्न का उत्तर हम एक सत्य सारणी बनाकर दे सकते हैं।

(उदाहरण १.४.८ #1) के लिए सत्य तालिका स्तंभ की तुलना के लिए स्तंभ से करें (यह उदाहरण १.४.८ #२ के समाधान में दाईं ओर से दूसरा स्तंभ है)।

तुलना करने पर, हम देखते हैं कि दो कॉलम समान हैं: प्रत्येक कॉलम में पहली पंक्ति में "T", दूसरी पंक्ति में "T", तीसरी पंक्ति में "F" और चौथी पंक्ति में "T" है। जब दो कथनों में समान सत्य तालिका स्तंभ होते हैं, तो कथन समतुल्य होते हैं।

तार्किक समानता के परीक्षण के लिए सत्य तालिकाओं का उपयोग करना

यह निर्धारित करने के लिए कि क्या दो कथन समतुल्य हैं, एक सत्य तालिका बनाएं जिसमें प्रत्येक कथन के लिए एक कॉलम हो। यदि कॉलम समान हैं, तो कथन समतुल्य हैं।

उदाहरण 1.4.10 से, हम देखते हैं कि

उदाहरण १.४.१० के परिणाम का उपयोग एक बयान लिखने के लिए करें जो " के बराबर है, ऐसा नहीं है कि मैं एक टैको का आदेश नहीं दूंगा और मैं एक बूरिटो का आदेश दूंगा।"

यदि p " का प्रतिनिधित्व करता है मैं एक टैको का आदेश दूंगा" और q " का प्रतिनिधित्व करता है, तो मैं एक बरिटो का आदेश दूंगा" तो कथन "ऐसा नहीं है कि मैं एक टैको का आदेश नहीं दूंगा और मैं एक बरिटो का आदेश दूंगा" को प्रतीक के रूप में दर्शाया गया है।

उदाहरण १.४.१० का परिणाम हमें बताता है कि : "मैं एक टैको का आदेश दूंगा या मैं एक बरिटो का आदेश नहीं दूंगा।"

1. यह निर्धारित करने के लिए एक सत्य तालिका का उपयोग करें कि क्या के बराबर है।

2. यह निर्धारित करने के लिए एक सत्य तालिका का उपयोग करें कि क्या के बराबर है।

3. यह निर्धारित करने के लिए एक सत्य तालिका का प्रयोग करें कि क्या यह समतुल्य है।

4. तुल्य है या नहीं यह निर्धारित करने के लिए सत्य तालिका का प्रयोग करें।

नोट: पिछले चार प्रश्नों के उत्तर क्रमशः "नहीं, हाँ, नहीं, हाँ" हैं।

निम्नलिखित सत्य सारणी को पूरा कीजिए।

किसी भी समकक्षता या तनातनी की पहचान करें।

नोट: यहां नौ स्तंभों के शीर्षक दिए गए हैं:
पी, क्यू, पी नहीं, क्यू नहीं, पी और क्यू नहीं, पी या क्यू नहीं, नहीं (पी या क्यू नहीं), पी या (पी और क्यू नहीं), क्यू और नहीं (पी या क्यू नहीं)।
समाधान देखें

उदाहरण 1.4.12 #2 और 1.4.12 #4 से हमारे पास तार्किक तुल्यता के निम्नलिखित नियम हैं:

इन दो नियमों को तर्क के लिए डीमॉर्गन के नियम कहा जाता है।

यद्यपि वे तुल्यता के रूप में लिखे गए हैं, वास्तव में वे हमें बताते हैं कि संयोजन या वियोजन का निषेध कैसे लिखा जाए।

एक संयोजन की अस्वीकृति:

"p और q" का निषेध "p या नहीं q" . है

एक विच्छेदन की अस्वीकृति:

"p या q" का निषेध "p नहीं है और q नहीं है।"

प्रत्येक कथन का निषेधन लिखने के लिए डीमॉर्गन के नियमों का प्रयोग करें:

1. मुझे एक कार और एक मोटरसाइकिल चाहिए।
2. मेरी बिल्ली बाहर रहती है या वह गड़बड़ करती है।
3. मैं गिर गया हूँ और मैं उठ नहीं सकता।
4. आप पढ़ते हैं या आपको अच्छा ग्रेड नहीं मिलता है।

1. मुझे कार नहीं चाहिए या मुझे मोटरसाइकिल नहीं चाहिए।
2. मेरी बिल्ली बाहर नहीं रहती है और वह गड़बड़ नहीं करती है।
3. मैं गिरा नहीं हूं या मैं उठ सकता हूं।
4. आप पढ़ते नहीं हैं और आपको अच्छे ग्रेड मिलते हैं।

1. उस कथन का चयन करें जो "आज सोमवार है और बारिश नहीं हो रही है" . का निषेध है

उ. आज सोमवार नहीं है और बारिश नहीं हो रही है।
B. आज सोमवार नहीं है या बारिश नहीं हो रही है।
C. आज सोमवार नहीं है या बारिश हो रही है।
D. आज सोमवार नहीं है और बारिश हो रही है।
E. आज शुक्रवार है और बर्फबारी हो रही है।

2. उस कथन का चयन करें जो "मैं सावधान हूं या मैं गलती करता हूं" . का निषेध है

मैं सावधान नहीं हूं और मैं गलतियां नहीं करता हूं.
बी. मैं सावधान नहीं हूं या मैं गलतियां नहीं करता हूं।
सी. मैं सावधान नहीं हूँ और मैं गलतियाँ करता हूँ।
D. मैं सावधान नहीं हूँ या मैं गलतियाँ करता हूँ।
ई. मैं कभी गलतियाँ नहीं करता।

1. उस कथन का चयन करें जो "I walk or I च्यू गम" . का निषेध करता है

उ. मैं नहीं चलता और मैं गम चबाता हूं।
बी. मैं नहीं चलता या मैं गम चबाता हूं।
C. मैं नहीं चलता और मैं च्युइंग गम नहीं चबाता।
D. मैं नहीं चलता या मैं च्युइंग गम नहीं चबाता।
ई. मैं च्यूइंग गम पर कदम रखने तक चलता हूं।

2. उस कथन का चयन करें जो "I'm mad as hek का निषेध है और मैं इसे अब और नहीं लेने जा रहा हूं।"

उ. मैं पागल नहीं हूं और मैं इसे अब और नहीं लूंगा।
बी। मैं बिल्ली के रूप में पागल नहीं हूँ या मैं इसे और नहीं लेने जा रहा हूँ।
सी. मैं बिल्ली के रूप में पागल नहीं हूँ और मैं इसे और लेने जा रहा हूँ।
डी. मैं बिल्ली के रूप में पागल नहीं हूँ या मैं इसे और लेने जा रहा हूँ।

3. उस कथन का चयन करें जो " सभी व्यवसाय बंद हैं" . का निषेध है

उ. कुछ व्यवसाय बंद हैं।
बी कुछ व्यवसाय बंद नहीं हैं।
C. कोई भी व्यवसाय बंद नहीं है।
D. सभी व्यवसाय खुले हैं।
ई. मेरे सभी कपड़े व्यवसायिक हैं।


4. उस कथन का चयन करें जो कथन का खंडन करता है "कुछ पायलट समुद्री डाकू हैं।"

A. सभी पायलट समुद्री डाकू हैं।
B. कोई भी पायलट समुद्री डाकू नहीं है।
C. कुछ पायलट समुद्री डाकू नहीं हैं।
D. सभी समुद्री डाकू पायलट हैं।
समाधान देखें

उदाहरण 1.4.20
'लेकिन थोड़ा रुकिए,' सीप रोया,
'इससे ​​पहले कि हम अपनी चैट करें'
हम में से कुछ के लिए सांस से बाहर हैं,
और हम सब मोटे हैं!'
"कोई जल्दी नहीं!' बढ़ई ने कहा।
इसके लिए उन्होंने उनका बहुत-बहुत धन्यवाद किया।

उस कथन का चयन करें जो "हम में से कुछ की सांस फूल रही है, और हम सभी मोटे हैं" का निषेध है।

उ. हममें से कुछ की सांस नहीं चल रही है या हममें से कोई भी मोटा नहीं है।
B. हममें से कुछ की सांस नहीं चल रही है और हममें से कोई भी मोटा नहीं है।
सी. हम में से कोई भी सांस से बाहर नहीं है और हम में से कुछ मोटे नहीं हैं।
D. हममें से किसी की भी सांस फूलती नहीं है या हममें से कुछ मोटे नहीं हैं।

"quot" कथन के लिए एक और समानता

इस संयोजन पर विचार करें: "आप व्यवहार करेंगे या आपको कोई पुरस्कार नहीं मिलेगा।"

क्या आप किसी अन्य कथन के बारे में सोच सकते हैं जो """ शब्द का उपयोग किए बिना बिल्कुल वही अर्थ व्यक्त करता हो?

तथ्य: "p या q" के किसी भी विवरण को "यदि p नहीं, तो q" के रूप में समान रूप से लिखा जा सकता है। यह दर्शाया गया है और मॉड्यूल १.५ में विस्तार से चर्चा की जाएगी


संयोजन और वियोग के बारे में तथ्यों का सारांश।

उस कथन का चयन करें जो तार्किक रूप से "मैं सावधान हूं या मैं गलतियां करता हूं" के बराबर है

मैं सावधान हूं और मुझसे गलतियां होती हैं.
B. मैं गलतियाँ करता हूँ और मैं सावधान हूँ।
सी. अगर मैं सावधान नहीं हूं, तो मैं गलतियां करता हूं।
D. इनमें से कोई नहीं।
समाधान देखें


2. तर्क की रचनात्मक व्याख्या

अब तक, यह स्पष्ट हो जाना चाहिए कि गणित का एक पूर्ण-रक्त वाला कम्प्यूटेशनल विकास संयोजन और अस्तित्व की आदर्शवादी व्याख्याओं को अस्वीकार करता है, जिस पर अधिकांश शास्त्रीय गणित निर्भर करता है। रचनात्मक रूप से काम करने के लिए, हमें शास्त्रीय व्याख्याओं से प्राकृतिक रचनात्मक व्याख्याओं की ओर लौटने की आवश्यकता है:

(vee) (या): (P vee Q) को सिद्ध करने के लिए हमारे पास या तो (P) का प्रमाण होना चाहिए या (Q) का प्रमाण होना चाहिए।
(वेज) (और): (P wedge Q) को सिद्ध करने के लिए हमारे पास (P) का प्रमाण और (Q) का प्रमाण दोनों होना चाहिए।
(Rightarrow) (मतलब): (P ightarrow Q) का एक प्रमाण एक एल्गोरिथ्म है जो (P) के किसी भी प्रमाण को (Q) के प्रमाण में परिवर्तित करता है।
( नकारात्मक) (नहीं): साबित करने के लिए ( eg P) हमें दिखाना होगा कि (P) का मतलब (0 = 1) है।
(मौजूद है) (वहां मौजूद है): साबित करने के लिए (अस्तित्व xP(x)) हमें एक वस्तु का निर्माण करना चाहिए (x) और साबित करना चाहिए कि (P(x)) धारण करता है।
(forall) (प्रत्येक/सभी के लिए): (forall xin SP(x)) का एक प्रमाण एक एल्गोरिथम है, जो किसी भी वस्तु (x) पर लागू होता है और डेटा को साबित करता है कि (xin S), साबित करता है कि (P (एक्स)) रखती है।

इन बीएचके-व्याख्या (नाम ब्रौवर, हेयिंग और कोलमोगोरोव के काम में उनके मूल को दर्शाता है) क्लेन की धारणा का उपयोग करके और अधिक सटीक बनाया जा सकता है साध्यता देखें (डुमेट [1977/2000], 222&ndash234 बीसन [1985], अध्याय VII)।

हम किस प्रकार की चीजों की तलाश कर रहे हैं यदि हम गणित को इस तरह विकसित करने के बारे में गंभीर हैं कि जब कोई प्रमेय किसी वस्तु (x) के गुण (P) के अस्तित्व पर जोर देता है, तो प्रमेय का प्रमाण निहित होता है (x) के निर्माण के लिए एल्गोरिदम और प्रदर्शन के लिए, जो भी गणना आवश्यक है, उस (x) में संपत्ति (P) है। यहां प्रमेयों के कुछ उदाहरण दिए गए हैं, जिनमें से प्रत्येक के बाद इसके रचनात्मक प्रमाण के लिए आवश्यकताओं का अनौपचारिक विवरण दिया गया है।

    प्रत्येक वास्तविक संख्या (x) के लिए, या तो (x = 0) या (x e 0)।

सबूत की आवश्यकता: एक एल्गोरिथम, जो किसी वास्तविक संख्या (x) पर लागू होता है, यह तय करता है कि (x = 0) या (x e 0)। ध्यान दें कि, यह निर्णय लेने के लिए, एल्गोरिथम न केवल (x) का वर्णन करने वाले डेटा का उपयोग कर सकता है, बल्कि डेटा यह भी दिखा सकता है कि (x) वास्तव में एक वास्तविक संख्या है।

सबूत की आवश्यकता: एक एल्गोरिथम, जो वास्तविक संख्याओं के सेट (S), (S) के एक सदस्य (s), और (S) के लिए एक ऊपरी सीमा पर लागू होता है,

  1. एक वस्तु (b) की गणना करता है और दिखाता है कि (b) एक वास्तविक संख्या है
  2. दिखाता है कि प्रत्येक (x in S) और each के लिए (x le b)
  3. एक वास्तविक संख्या दी गई (b' lt b), (S) के एक तत्व (x) की गणना करता है जैसे कि (x gt b')।

सबूत की आवश्यकता: एक एल्गोरिथ्म, जो फ़ंक्शन (f) पर लागू होता है, (f) के लिए निरंतरता का एक मापांक, और मान (f(0)) और (f(1)),

  1. एक वस्तु (x) की गणना करता है और दिखाता है कि (x) 0 और 1 और . के बीच एक वास्तविक संख्या है
  2. दर्शाता है कि (f(x) = 0)।

सबूत की आवश्यकता: एक एल्गोरिथ्म, जो फ़ंक्शन (f) पर लागू होता है, (f) के लिए निरंतरता का एक मापांक, मान (f(0)) और (f(1)), और एक सकारात्मक संख्या (varepsilon),

  1. एक वस्तु (x) की गणना करता है और दिखाता है कि (x) 0 और 1 और . के बीच एक वास्तविक संख्या है
  2. दिखाता है कि (abs lt varepsilon)।

हमारे पास पहले से ही संदेह करने के कारण हैं कि (ए) के पास एक रचनात्मक प्रमाण है। यदि (बी) के लिए सबूत आवश्यकताओं को पूरा किया जा सकता है, तो, किसी भी गणितीय कथन (पी) को देखते हुए, हम (बी) के हमारे सबूत को एक तर्कसंगत अनुमान (z) की गणना करने के लिए सर्वोच्च (sigma ) सेट का

त्रुटि के साथ (lt frac<1><4>)। फिर हम यह निर्धारित कर सकते हैं कि (z gt frac<1><4>), किस मामले में (sigma gt 0), या (z lt frac<3><4>) , जब (sigma lt 1)। पहले मामले में, (x in S) के साथ (x gt 0) मौजूद है, इसलिए हमारे पास (x = 1) होना चाहिए और इसलिए (P)। मामले में (sigma lt 1), हमारे पास ( eg P) है। इस प्रकार (बी) बहिष्कृत मध्य के कानून का तात्पर्य है।

हालांकि, बिशप के वास्तविक संख्याओं के रचनात्मक सिद्धांत में, कॉची अनुक्रमों के आधार पर एक पूर्वनिर्धारित अभिसरण दर के साथ, हम निम्नलिखित साबित कर सकते हैं रचनात्मक कम से कम ऊपरी बाध्य सिद्धांत:

पारित होने में, हम अंतराल अंकगणित के आधार पर (R) के रचनात्मक सिद्धांत के वैकल्पिक विकास का उल्लेख करते हैं, पुलों और amp Vîță [2006] का अध्याय 2 देखें।

प्रत्येक कथन (सी) और (डी), जो शास्त्रीय रूप से समकक्ष हैं, मध्यवर्ती मूल्य प्रमेय का एक संस्करण है। इन बयानों में, ए निरंतरता का मापांक के लिए (f) निम्नलिखित दो गुणों के साथ सकारात्मक वास्तविक संख्याओं के आदेशित जोड़े ((varepsilon ,delta)) का एक सेट (Omega) है:

  • प्रत्येक (varepsilon gt 0) के लिए (delta gt 0) मौजूद है जैसे कि ((varepsilon ,delta) in Omega)
  • प्रत्येक के लिए ((varepsilon , delta) in Omega), और सभी (x,y in [0,1]) के लिए (abs) lt delta), हमारे पास (abs .) है lt varepsilon)।

वक्तव्य (सी) में एक और अनिवार्य रूप से गैर-रचनात्मक सिद्धांत शामिल है, सर्वज्ञता का कम सीमित सिद्धांत (एलएलपीओ):

प्रत्येक बाइनरी अनुक्रम ((a_1,a_2,ldots)) के लिए अधिकतम एक शब्द 1 के बराबर है, या तो (a_n = 0) सभी के लिए भी (n) या फिर (a_n = 0) सभी विषम (n) के लिए।

स्टेटमेंट (डी), (सी) का एक कमजोर रूप, एक मानक प्रकार के अंतराल-आधा तर्क का उपयोग करके रचनात्मक रूप से सिद्ध किया जा सकता है। निम्नलिखित मजबूत रचनात्मक मध्यवर्ती मूल्य प्रमेय, जो कि अधिकांश व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए पर्याप्त है, अनुमानित-अंतराल-आधा तर्क का उपयोग करके सिद्ध किया जाता है:

चलो (f) बंद अंतराल ([0,1]) पर एक सतत वास्तविक-मूल्यवान मानचित्रण बनें जैसे कि (f(0)cdot f(1) lt 0)। मान लीजिए कि (f) is स्थानीय रूप से गैर-शून्य, इस अर्थ में कि प्रत्येक (x in [0,1]) और प्रत्येक (r gt 0) के लिए, (y) मौजूद है जैसे कि (abs lt r) और (f(y) e 0)। फिर वहाँ (x) मौजूद है जैसे कि (0 lt x lt 1) और (f(x) = 0)।

मध्यवर्ती मूल्य प्रमेय की स्थिति रचनात्मक विश्लेषण में कई के लिए विशिष्ट है, जहां हम कई रचनात्मक संस्करणों के साथ एक शास्त्रीय प्रमेय पाते हैं, जिनमें से कुछ या सभी शास्त्रीय तर्क के तहत समकक्ष हो सकते हैं।

एक सर्वज्ञ सिद्धांत है जिसकी रचनात्मक स्थिति . की तुलना में कम स्पष्ट है एलपीओ तथा एलएलपीओ&mdashअर्थात्, मार्कोव का सिद्धांत (एमपी):

प्रत्येक बाइनरी अनुक्रम ((a_n)) के लिए, यदि यह विरोधाभासी है कि सभी शर्तें (a_n) बराबर 0 हैं, तो 1 के बराबर एक शब्द मौजूद है।

यह सिद्धांत निम्नलिखित सहित कई सरल शास्त्रीय प्रस्तावों के बराबर है:

  • प्रत्येक वास्तविक संख्या (x) के लिए, यदि यह विरोधाभासी है कि (x) बराबर 0 है, तो (x e 0) (जिस अर्थ में हमने पहले उल्लेख किया है)।
  • प्रत्येक वास्तविक संख्या (x) के लिए, यदि यह विरोधाभासी है कि (x) बराबर 0 है, तो वहां (y in R) मौजूद है जैसे कि (xy = 1)।
  • प्रत्येक एक-एक सतत मानचित्रण (f : [0,1] ightarrow R) के लिए, यदि (x e y), तो (f(x) e f(y))।

मार्कोव का सिद्धांत एक असीमित खोज का प्रतिनिधित्व करता है: यदि आपके पास इस बात का प्रमाण है कि सभी शब्द (a_n) 0 होने के कारण एक विरोधाभास होता है, तो, शर्तों का परीक्षण करके (a_1,a_2,a_3,ldots) बदले में, आप हैं 1 के बराबर एक पद पर आने की गारंटी है, लेकिन यह गारंटी इस आश्वासन तक विस्तारित नहीं है कि ब्रह्मांड के अंत से पहले आपको वांछित शब्द मिल जाएगा। रचनात्मक गणित के अधिकांश चिकित्सक मार्कोव के सिद्धांत को कम से कम संदेह के साथ देखते हैं, यदि पूर्ण अविश्वास नहीं है।इस तरह के विचारों को इस अवलोकन से पुष्ट किया जाता है कि क्रिपके मॉडल दिखा रहा है कि एमपी रचनात्मक रूप से व्युत्पन्न नहीं है (ब्रिज एंड रिचमैन [१९८७], १३७&ndash138.)


लॉजिक एंड मैथमैटिकल रीजनिंग प्रूफ राइटिंग का परिचय

इस अध्याय में हम शास्त्रीय तर्क का परिचय देते हैं जिसमें दो सत्य मूल्य, सत्य तथा असत्य. हर एक प्रस्ताव एकल सत्य मान लेता है।

परिभाषा 1.1.1 प्रस्ताव

प्रस्ताव एक वाक्य है जो या तो सत्य या गलत है।

परिभाषा 1.1.2 संयोजन, वियोजन, निषेधन

दिए गए प्रस्ताव (P) और (Q ext<,>) the

संयोजन का (P) और (Q ext<,>) निरूपित (P wedge Q ext<,>) का प्रस्ताव है "(P) और (Q ext<.> )” (P wedge Q) सही है जब दोनों (P) और (Q) सत्य हैं। अलगाव of (P) और (Q ext<,>) निरूपित (P vee Q ext<,>) का प्रस्ताव है "(P) या (Q ext<.> )” (P vee Q) सही है जब कम से कम एक (P) या (Q) सत्य है। नकार of (P ext<,>) निरूपित ( eg P ext<,>) यह प्रस्ताव है "नहीं (P ext<.>)" ( eg P) बिल्कुल सही है जब (P) गलत है।

ध्यान दें कि यद्यपि वियोजन (P vee Q) का अंग्रेजी में "(P) या (Q)" के रूप में अनुवाद किया जाता है, इसका अर्थ रोजमर्रा के भाषण में "या" का उपयोग करने के तरीके से थोड़ा अलग है। विशेष रूप से, विच्छेदन है सहित, जिसका अर्थ है कि यह सच है जब भी कम से कम एक का (P) या (Q) सत्य है। दूसरी ओर, अंग्रेजी में, "या" अक्सर . होता है अनन्य, जिसका अर्थ है कि यह सच है जब भी बिल्कुल एक विकल्पों में से सत्य है। उदाहरण के लिए, यदि मैंने कहा, "आज, मैं या तो पार्क में जाऊँगा या पूल में," यह आमतौर पर समझा जाएगा कि मैं एक या दूसरे को करूँगा, लेकिन दोनों को नहीं। हालाँकि, यदि (P) प्रस्ताव "मैं पार्क में जाऊंगा" और (Q) प्रस्ताव है, "मैं पूल में जाऊंगा", तो (P vee Q) का अर्थ है "I पार्क या पूल में जाएंगे अथवा दोनों।" इस पाठ्यक्रम के शेष भाग के दौरान, जब भी हम "या" कहते हैं, तो हमारा तात्पर्य वियोजन के अनुरूप समावेशी संस्करण से है।

परिभाषा 1.1.3 सुगठित सूत्र

अच्छी तरह से गठित सूत्र एक अभिव्यक्ति है जिसमें अंतिम रूप से कई तार्किक संयोजी प्रतीकों और प्रस्तावों का प्रतिनिधित्व करने वाले अक्षर शामिल हैं जो है वाक्य रचना (यानी, व्याकरणिक रूप से) सही।

उदाहरण के लिए, ( eg (P vee Q)) एक अच्छी तरह से बनाया गया फॉर्मूला है, लेकिन (vee PQ) नहीं है।

परिभाषा 1.1.4 समतुल्य रूप

दो अच्छी तरह से गठित सूत्र हैं समकक्ष अगर और केवल अगर उनके पास एक ही सत्य सारणी है।

परिभाषा से, हम देख सकते हैं कि (P vee Q) और (Q vee P) समतुल्य रूप हैं। इसी तरह, (P wedge Q) और (Q wedge P) समतुल्य रूप हैं। हालांकि, कम स्पष्ट उदाहरण हैं जैसे ( eg((P vee Q) wedge R)) और ((( eg P) vee ( eg R)) wedge (( eg Q) ) vee ( eg R)) ext<.>)

परिभाषा 1.1.5 तनातनी

अपनी दोहराना एक अच्छी तरह से बनाया गया सूत्र है जो इसके घटकों के लिए सत्य मूल्यों के प्रत्येक असाइनमेंट के लिए सही है।

उदाहरण के लिए, बहिष्कृत मध्य का कानून जो बताता है कि, किसी भी प्रस्ताव (P ext<,>) के लिए वियोजन (P vee ( eg P)) एक तनातनी है। नाम इस तथ्य को संदर्भित करता है कि प्रत्येक प्रस्ताव या तो सत्य या गलत है, बीच में कोई संभावना नहीं है, यानी बीच को बाहर रखा गया है।

(पी) ( नकारात्मक पी) (पी वी (नकारात्मक पी))
सत्य असत्य सत्य
असत्य सत्य सत्य
तालिका 1.1.6

परिभाषा 1.1.7 विरोधाभास

अंतर्विरोध एक अच्छी तरह से बनाया गया सूत्र है जो इसके घटकों के लिए सत्य मूल्यों के प्रत्येक असाइनमेंट के लिए गलत है।

उदाहरण के लिए, किसी भी प्रस्ताव (P ext<,>) के लिए संयोजन (P wedge ( eg P)) एक विरोधाभास है।

(पी) ( नकारात्मक पी) (पी कील ( नकारात्मक पी))
सत्य असत्य असत्य
असत्य सत्य असत्य
तालिका 1.1.8

परिभाषा 1.1.9 इनकार

इनकार एक प्रस्ताव का (P) कोई भी प्रस्ताव ( eg P ext<.>) के बराबर है

उदाहरण के लिए, किसी भी प्रस्ताव (P) और (Q ext<,>) के लिए कथन

शुरू (( नकारात्मक पी) वेज क्यू) वी (( नकारात्मक पी) कील ( नकारात्मक क्यू)) अंत

व्यायाम 1.1.10

निम्नलिखित में से प्रत्येक प्रस्ताव के लिए एक सत्य तालिका बनाएं, और निर्धारित करें कि क्या उनमें से कोई विरोधाभास या ताना-बाना है।

शुरू (P vee ( eg Q)) wedge ( eg R), (( eg P) vee ( eg Q)) wedge (( eg P) vee Q), ( पी वेज क्यू) वी (पी वेज ( नकारात्मक क्यू)) वी (( नकारात्मक पी) वेज क्यू) वी (( नकारात्मक पी) वेज ( नकारात्मक क्यू)), (पी vee Q) वेज (P vee ( eg Q)) wedge (( eg P) vee Q) wedge (( eg P) vee ( eg Q))। समाप्त


1.4: संयोजक - गणित

oQ j7apj"5")CSj)H?oe:W/c-n8s')[email protected][JLo?aCLAm[-4RdbCMZ/P^sAqJbEe/0i(4L-L 1.4: Connectives - गणित, [nobr] [H1toH2]V?j`O4*Wj6G`c5^^I'eTk2]_0t=Dr.fR>*Ddh40Tk77 U[KJ"7F(?_hP9>?2J`W79n$KHZq">PnY9Z>A4J #YkO9 [email protected]>Hl)(Hj/>5mSp'B>YGLhb+WU P(5#'7.0u,[email protected]=rO`ucL"gRa/5(QO5fTgBOlHg(B%ps2FIHF3ub7./J35qr)

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असाइनमेंट लिखना (शुक्रवार को)

एक-से-एक के साथ जारी रखा।

४.२ को प्रतिबंधों के साथ लपेटा, और फिर एक-से-एक और आगे बढ़ता गया।

एक आवेदन: मॉड्यूलर अंकगणित।

तुल्यता संबंधों और विभाजनों को जोड़ना।

तुल्यता संबंधों के साथ अधिक।

तुल्यता संबंधों पर।

फाइबोनैचि संख्या आज। और फिर वापस मूल सेट सिद्धांत पर।

ब्रेक से वापस। अधिक प्रेरण, मजबूत प्रेरण, और WOP।

अधिक प्रेरण उदाहरण आज। हैप्पी ब्रेक!

धारा २.३ को समाप्त किया और फिर प्रेरण पर आरंभ किया। ओह, और हैप्पी $pi$ डे!

परीक्षा आज। आशा है कि यह वास्तव में अच्छा चला गया!

कार्टेशियन उत्पाद के साथ बुनियादी सेट संचालन को लपेटा, और फिर "बड़े" चौराहों और यूनियनों पर शुरू किया।

$a+5mathbb . फॉर्म के सेट पर चर्चा करके शुरू किया गया$ विभिन्न बुनियादी सेट संचालन के बारे में कई प्रमेयों के प्रमाण के माध्यम से हमारे तरीके से काम करने से पहले।

पावर सेट के साथ-साथ अन्य सेट संचालन के बारे में अधिक बात की। गिरावट में गणित 162 के लिए एक प्लग के साथ रसेल के विरोधाभास की एक संक्षिप्त चर्चा में भी काम किया। अवश्य विचार करें !

पावर सेट के साथ फिनिशिंग करते हुए आज सेट थ्योरी के बेसिक्स पर काम करना जारी रखा।

हमने आज ग्रेडिंग प्रूफ पर ध्यान केंद्रित किया। मुझे अच्छा लगा कि आप सभी ने न केवल गणित पर बल्कि लेखन शैली पर भी कितना ध्यान दिया!

कमोबेश सबूतों की हमारी औपचारिक चर्चा समाप्त हो गई। अब अभ्यास करने का समय है, बहुत कुछ!

अधिक विरोधाभास और अधिक परिमाणक।

$sqrt<2>$ तर्कहीन है&mdashnow हम जानते हैं क्यों।

अधिक क्वांटिफायर टॉक के साथ शुरू हुआ तो बहुत सारे महान प्रश्न थे। और फिर, हमने आखिरकार चीजों को साबित करना शुरू कर दिया&mdashyay!

आज बहुत मात्रा का ठहराव! हम अगली बार थोड़ी और शुरुआत करेंगे।

अंग्रेजी वाक्यों को प्रतीकात्मक तर्क में अनुवाद करने के बारे में एक महान चर्चा के साथ शुरू हुआ, जिसमें ``केवल अगर'', ``आवश्यक'', और ``पर्याप्त'' पर ध्यान दिया गया। उसके बाद, हमने क्वांटिफायर में लॉन्च किया।

कनेक्टिव्स, तार्किक तुल्यता और सशर्त (जो, बेशक, थोड़ा अजीब है) के बारे में बात की।

आप सभी से मिलकर अच्छा लगा! ShareLaTeX खाते के लिए साइन अप करना सुनिश्चित करें और असाइनमेंट 01 लिखना शुरू करें। यह आने वाला गुरुवार है!


1.4: संयोजक - गणित

परिचय
निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें। हमें निम्नलिखित वाक्य को केवल प्रस्तावक तर्क का उपयोग करके गणितीय कथन में बदलने की आवश्यकता है।

उपरोक्त कथन को केवल प्रस्तावक तर्क का उपयोग करके पर्याप्त रूप से व्यक्त नहीं किया जा सकता है। ऐसा करने की कोशिश में समस्या यह है कि प्रस्तावित तर्क मात्रात्मक चर से निपटने के लिए पर्याप्त अभिव्यक्तिपूर्ण नहीं है। यह आसान होता अगर बयान किसी विशिष्ट व्यक्ति का जिक्र कर रहा होता। लेकिन चूंकि ऐसा नहीं है और यह कथन उन सभी लोगों पर लागू होता है जो 18 वर्ष या उससे अधिक उम्र के हैं, हम फंस गए हैं।
इसलिए हमें अधिक शक्तिशाली प्रकार के तर्क की आवश्यकता है।

विधेय तर्क
विधेय तर्क प्रस्तावक तर्क का विस्तार है। यह उन कथनों के अर्थ को बेहतर ढंग से पकड़ने के लिए विधेय और परिमाणक की अवधारणा को जोड़ता है जिन्हें प्रस्तावक तर्क द्वारा पर्याप्त रूप से व्यक्त नहीं किया जा सकता है।

एक विधेय क्या है?

    उदाहरण 1: होने देना कथन को निरूपित करें “ > 10″. के सत्य मूल्य क्या हैं तथा ?

क्वांटिफायर क्या हैं?

विधेय तर्क में, परिमाणकों के साथ-साथ विधेय का उपयोग यह व्यक्त करने के लिए किया जाता है कि तत्वों की एक श्रृंखला पर एक विधेय किस हद तक सही है। ऐसे प्रस्तावों को बनाने के लिए क्वांटिफायर का उपयोग करना कहलाता है मात्रा का ठहराव.

परिमाणीकरण दो प्रकार का होता है-

  • उदाहरण 1: होने देना बयान हो “ >“. कथन का सत्य मूल्य क्या है ?
    समाधान: जैसा से अधिक है किसी भी वास्तविक संख्या के लिए, तो सभी के लिए या .
  • उदाहरण : होने देना बयान हो “ > 5″. कथन का सत्य मूल्य क्या है ?
    समाधान:5 से बड़ी सभी वास्तविक संख्याओं के लिए सत्य है और 5 से छोटी सभी वास्तविक संख्याओं के लिए असत्य है .

अब यदि हम इस लेख की शुरुआत में दिए गए कथन को विधेय तर्क का उपयोग करके गणितीय कथन में बदलने की कोशिश करते हैं, तो हमें कुछ ऐसा मिलेगा-

ध्यान दें कि दिए गए कथन का उल्लेख द्विशर्त के रूप में नहीं किया गया है और फिर भी हमने एक का उपयोग किया है। ऐसा इसलिए है क्योंकि प्राकृतिक भाषा कभी-कभी अस्पष्ट होती है, और हमने एक धारणा बना ली है। यह धारणा बनाई गई थी क्योंकि यह सच है कि कोई व्यक्ति वोट तभी दे सकता है जब वह 18 वर्ष या उससे अधिक उम्र का हो। अधिक स्पष्टीकरण के लिए प्रस्तावक तर्क का परिचय देखें।

अन्य क्वांटिफायर –
यद्यपि सार्वभौमिक और अस्तित्वगत परिमाणक गणित और कंप्यूटर विज्ञान में सबसे महत्वपूर्ण हैं, वे केवल एक ही नहीं हैं। वास्तव में, परिभाषित किए जा सकने वाले विभिन्न परिमाणकों की संख्या पर कोई सीमा नहीं है, जैसे कि “बिल्कुल दो”, “तीन से अधिक नहीं हैं”, “कम से कम 10” हैं, और इसलिए पर।
अन्य सभी संभावित परिमाणकों में से, जो सबसे अधिक बार देखा जाता है वह है विशिष्टता क्वांटिफायर, द्वारा चिह्नित ।

  1. सार्वभौमिक परिमाणीकरण का प्रतिबंध एक सशर्त विवरण के सार्वभौमिक परिमाणीकरण के समान है।
  2. एक अस्तित्वगत परिमाणीकरण का प्रतिबंध संयोजन के अस्तित्वगत परिमाणीकरण के समान है।

ध्यान देने योग्य परिभाषाएँ:

1. बाध्यकारी चर- एक वेरिएबल जिसकी घटना एक क्वांटिफायर द्वारा बाध्य होती है, कहलाती है
बाध्य चर। वे चर जो किसी क्वांटिफायर से बंधे नहीं होते हैं, कहलाते हैं नि: शुल्क चर।
2। घेरा- तार्किक व्यंजक का वह भाग जिस पर क्वांटिफायर लगाया जाता है, कहलाता है
NS दायरा परिमाणक का।

इस विषय को दो भागों में कवर किया गया है। इस विषय के दूसरे भाग को एक अन्य लेख – विधेय और परिमाणक – सेट 2 में समझाया गया है

यह लेख द्वारा योगदान दिया गया है चिराग मनवानी. यदि आप GeeksforGeeks पसंद करते हैं और योगदान देना चाहते हैं, तो आप write.geeksforgeeks.org का उपयोग करके एक लेख भी लिख सकते हैं या अपना लेख [email protected] पर मेल कर सकते हैं। अपने लेख को GeeksforGeeks के मुख्य पृष्ठ पर देखें और अन्य गीक्स की मदद करें।

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पाठक ध्यान दें! अभी सीखना बंद करो। वास्तविक परीक्षा से पहले गेट परीक्षा का अच्छी तरह से अभ्यास करें, जिसमें विषयवार और समग्र क्विज़ उपलब्ध हैं गेट टेस्ट सीरीज कोर्स.


अब आप देखिए एक सेक्शन 640 एकड़ का क्यों होता है?

तो इस तरह मुझे पता चला कि एक खंड 640 एकड़ का प्रतिनिधित्व करता है। ठीक है तो देखते हैं कि हम उस नंबर के साथ क्या कर सकते हैं। वर्गों को आधा (320 एकड़) और क्वार्टर (160 एकड़) में विभाजित किया जा सकता है। तो यह आसान हिस्सा है। फिर इसे और अधिक भ्रमित करना होगा क्योंकि उन हिस्सों में से प्रत्येक को फिर से आधा और चौथाई में विभाजित किया जा सकता है। लेकिन यह बहुत कठिन नहीं है.... इसका मूल गणित। यहां 40 एकड़, यहां 40 एकड़, यहां 40 एकड़, यहां 40 एकड़। क्या आप तर्क देखते हैं? अच्छा!

अब, वहाँ एक कारण है कि मैं इस सब में गया इससे पहले कि मैं सुपर भ्रमित करने वाले प्रश्न को तोड़ दूं। और ऐसा इसलिए है क्योंकि सुपर भ्रमित करने वाला प्रश्न वह भ्रमित करने वाला प्रश्न नहीं है यदि हम जानते हैं कि मैंने अभी क्या कहा है। अंत में सवाल यह जानना चाहता है कि कितने एकड़ जमीन है। वे हमें वहां बहुत कुछ देते हैं लेकिन वास्तविकता यह है कि वे चाहते हैं कि आप प्रति एकड़ कीमत के हिसाब से एक एकड़ राशि की गणना करें और उन्हें बताएं कि वह कुल कीमत क्या थी।

तो आइए प्रश्न को देखें और इसे अलग करें। आइए इस रियल एस्टेट लाइसेंस गणित को सार्थक बनाएं!


गोवर्स का वेबलॉग

मैंने चर्चा की है कि कैसे शब्दों के गणितीय अर्थ “और”, “or” और “not” उनके सामान्य अर्थों के समान नहीं हैं। यह “का अर्थ है” शब्द के बारे में भी सच है, बल्कि और भी बहुत कुछ। वास्तव में, इस शब्द से गणितज्ञों का क्या मतलब है, यह जानना एक काफी जटिल काम है कि मैंने अभी इस विषय पर एक पूरी पोस्ट को बंद करने और फिर से शुरू करने का फैसला किया है। (मोटे तौर पर जो हुआ वह यह था कि मैंने कुछ लिखा था, कई कारणों से उससे खुश नहीं था, कई काफी महत्वपूर्ण बदलाव किए, और कुछ ऐसा हुआ जो अब मैं लिखने की तरह महसूस नहीं कर रहा था काफी सोचने के बाद मैं जो कहना चाहता हूं उसके बारे में थोड़ा और। ऊंट की पीठ को तोड़ने वाला तिनका डैनियल हिल की एक टिप्पणी थी जिसमें उन्होंने बताया कि “का अर्थ है”, कड़ाई से बोलना, एक संयोजी बिल्कुल नहीं था।

मैं इस पोस्ट में कई सूक्ष्म अंतरों का उल्लेख करूंगा, और आप पाएंगे कि आप उन सभी को अपने दिमाग में नहीं रख सकते हैं। यदि ऐसा है, तो इसके बारे में बहुत अधिक चिंता न करें, क्योंकि आप अधिकांश भेदों को धुंधला कर सकते हैं। केवल एक है जो विशेष रूप से महत्वपूर्ण है, जिस पर मैं ध्यान आकर्षित करूंगा जब हम इसे प्राप्त करेंगे।

“इम्प्लीज़” बनाम “इसलिए” बनाम “if … तब”।

तीन शब्द “का अर्थ है”, “इसलिए”, और “if … फिर” (ठीक है, तीसरा एक है’t a शब्द बिल्कुल, लेकिन यह एक वाक्यांश भी नहीं है, इसलिए मुझे नहीं पता कि इसे क्या कहा जाए) सभी इस विचार से जुड़े हैं कि एक बात सच होने से दूसरी बात सच हो जाती है। आपने उन सभी के बारे में सोचा होगा जो बहुत अधिक विनिमेय हैं। लेकिन क्या वे बिल्कुल वही हैं?

कुछ संकेत हैं कि वे काफी समान नहीं हैं शब्दों के व्याकरण से आते हैं। निम्नलिखित तीन वाक्यों पर विचार कीजिए।

पहला तीनों में से सबसे स्वाभाविक है। दूसरा एक उचित अंग्रेजी वाक्य की तरह नहीं पढ़ा जाता है (क्योंकि यह ’t है), और तीसरा, हालांकि व्याकरणिक रूप से सही है, किसी भी तरह से इसका मतलब पहले जैसा ही नहीं है, जो आंशिक रूप से इस तथ्य से परिलक्षित होता है कि यह है एक के बजाय दो वाक्य। (मैं पूर्ण विराम के बजाय अर्धविराम का उपयोग कर सकता था, लेकिन अल्पविराम पर्याप्त नहीं होता।)

आइए पहले “इसलिए” और “if … फिर” के बीच के अंतर को देखें। तीसरा सूत्रीकरण वाक्य से शुरू होता है, “It’s 11 बजे’घड़ी।” इसलिए, यह हमें बता रहा है कि यह 11 बजे’घड़ी है। इसके विपरीत, पहला सूत्रीकरण हमें इस बात का कोई संकेत नहीं देता है कि यह 11 बजे है या नहीं (सिवाय शायद अगर वाक्य कहने वाले की आवाज में घबराहट का एक नोट है)। इसलिए हम “इसलिए” का उपयोग करते हैं जब हम एक तथ्य स्थापित करते हैं और फिर यह कहना चाहते हैं कि दूसरा तथ्य इसका परिणाम है, जबकि हम “if … का उपयोग करते हैं तो” यदि हम यह बताना चाहते हैं कि दूसरा तथ्य एक है पहला सही है या नहीं, इस बारे में कोई निर्णय किए बिना पहले का परिणाम।

“निहित” के बारे में कैसे? इससे पहले कि मैं इस पर चर्चा करूं, मुझे एक और अंतर के बारे में बात करनी चाहिए, बीच अंक शास्त्र तथा मेटामैथमैटिक्स. पहले में ऐसे कथन होते हैं जैसे 󈬏 एक अभाज्य संख्या है” या “एक त्रिभुज के कोण 180” तक जोड़ते हैं। उत्तरार्द्ध में बयान शामिल हैं के बारे में गणितीय कथनों के बजाय स्वयं गणित। उदाहरण के लिए, यदि मैं कहूं, “एक त्रिभुज के कोणों का योग 180 करने वाली प्रमेय यूनानियों को ज्ञात थी,” तो मैं’m त्रिभुजों (अप्रत्यक्ष रूप से छोड़कर) के बारे में नहीं बल्कि त्रिभुजों से संबंधित प्रमेयों की बात कर रहा हूं।

गणितज्ञों से संबंधित मेटामैथेमेटिक्स वह प्रकार है जो गणितीय कथनों के गुणों पर चर्चा करता है (विशेषकर क्या वे सत्य हैं) और उनके बीच संबंध (जैसे कि क्या एक दूसरे का तात्पर्य है)। यहां कुछ मेटामैथमेटिकल स्टेटमेंट दिए गए हैं।

इन चार वाक्यों में से प्रत्येक में मैंने’t बनाना गणितीय कथन। बल्कि, मैं निर्दिष्ट गणितीय बयानों के लिए। इसका व्याकरणिक कारण यह है कि अंग्रेजी भाषा में शब्द “का अर्थ है”, दो संज्ञा वाक्यांशों को जोड़ने वाला माना जाता है। आप कहते हैं कि एक बात का मतलब दूसरी बात है

संज्ञा वाक्यांश, वैसे, मोटे तौर पर बोलना, कुछ भी है जो एक वाक्य के विषय के रूप में कार्य कर सकता है। उदाहरण के लिए, “मैं आपको कल के बारे में बता रहा था” एक संज्ञा वाक्यांश है, क्योंकि यह वाक्य के विषय के रूप में कार्य करता है,

उस वाक्य में अन्य संज्ञा वाक्यांश हैं “उसकी साइकिल” और “तीसरी बार”।

मुझे कुछ बेवकूफी लिखने दो:

मैंने ऐसा इसलिए लिखा है क्योंकि दो तरह की बकवास में एक महत्वपूर्ण अंतर है। उपरोक्त वाक्य का ज्यादा मतलब नहीं है, क्योंकि आप साइकिल का मतलब नहीं निकाल सकते।हालाँकि, यह एक तरह से कम से कम व्याकरणिक है

इसका मतलब यह है कि जब हम साधारण अंग्रेजी में “ का उपयोग करते हैं, तो हम कथनों को नहीं जोड़ रहे हैं (क्योंकि कथन संज्ञा वाक्यांश नहीं हैं) लेकिन बात कर रहे हैं के बारे में कथन (क्योंकि हम कथनों को संदर्भित करने के लिए संज्ञा वाक्यांशों का उपयोग करते हैं)।

मैं कथनों को संज्ञा वाक्यांशों में बदलने के तीन तरीकों के बारे में सोच सकता हूँ। पहला बल्कि कच्चा है: आप इसके चारों ओर उल्टे अल्पविराम लगाते हैं। उदाहरण के लिए, यदि मैं गलत वाक्य के बारे में कुछ करना चाहता हूँ

तब मैं इसे बदल सकता था

दूसरी विधि कथन के लिए किसी नाम के साथ आना है। यह यहाँ ठीक से काम नहीं करता है, लेकिन चलो चलें।

यह बोलजानो-वीयरस्ट्रैस प्रमेय जैसे स्थापित नामों वाले गणितीय कथनों के लिए बेहतर काम करता है।

तीसरा तरीका है कि “दैट” या कुछ ऐसा “दैट दैट” सामने रखें।

मैंने ऊपर उल्लेख किया है कि “का अर्थ है”, कड़ाई से बोलना, एक संयोजक नहीं है। ऐसा क्यों है? यह इसलिए है क्योंकि कनेक्टिव्स का उपयोग किया जाता है गणितीय कथनों को गणितीय कथनों में बदलने के लिए. उदाहरण के लिए, हम कथन बनाने के लिए “और” का उपयोग कर सकते हैं “ अभाज्य है और ” दो कथनों में से “ अभाज्य है” और ““। जब हम ऐसा करते हैं, तो नया कथन है’t चर्चा करते हुए पुराने बयानों के लिए, बल्कि यह शामिल है उन्हें।

दुर्भाग्य से, इस तरह की चीजों के साथ अक्सर, सामान्य गणितीय उपयोग उपरोक्त चर्चा से अधिक जटिल होता है। अधिकांश लोग “” प्रतीक को “ का अर्थ” के रूप में पढ़ते हैं। और ज्यादातर लोग कुछ इस तरह लिख कर काफी खुश होते हैं

जो, मैंने ऊपर जो कहा है, उसके अनुसार अव्याकरणिक है क्योंकि “का अर्थ है” संज्ञा वाक्यांशों को नहीं जोड़ रहा है। मेरा सुझाव है कि आप यहां क्या करें, इसके बारे में बहुत अधिक चिंता न करें: जब आप संख्याओं और सेटों और समूहों के बारे में सीख रहे हों तो गणित और मेटामैथमैटिक्स के बीच भ्रम की समस्या होने की संभावना नहीं है। अगर तुम हैं चिंता करने के लिए इच्छुक हैं, तो आप उपरोक्त की तरह एक वाक्य को पढ़ने का संकल्प कर सकते हैं जैसे “यदि तब ” मैं यह भी कहूंगा कि प्रतीक “” को सामान्य रूप से काफी कम इस्तेमाल किया जाना चाहिए। विशेष रूप से, इसे निरंतर गद्य में सम्मिलित न करें। उदाहरण के लिए, कुछ ऐसा न लिखें, “इसलिए और ” इसके बजाय, लिखें, “इसलिए और जिसका अर्थ है कि ” (ध्यान दें कि उस अंतिम वाक्य में शब्द “जो” के विषय के रूप में कार्य करता है “अर्थात्” और कथन “ और “ पर वापस संदर्भित।)

उद्धरण और अर्ध-उद्धरण।

यदि आप सूक्ष्म भेद पसंद करते हैं जो आपके स्नातक गणितीय अध्ययन में कोई मायने नहीं रखता है, तो पढ़ें। यदि आप ऐसा नहीं करते हैं, तो बेझिझक इस छोटे से भाग को छोड़ दें।

मैं जिस अंतर की ओर ध्यान आकर्षित करना चाहता हूं वह उद्धरण चिह्नों के दो उपयोगों के बीच है। केवल अच्छे उपाय के लिए, आइए वाक्य के साथ कुछ करने के तीन अलग-अलग तरीकों को देखें, “असीम रूप से कई अभाज्य हैं।”

  1. अपरिमित रूप से कई अभाज्य संख्याएँ हैं, लेकिन उनमें से केवल एक सम है।
  2. “असीम रूप से कई अभाज्य संख्याएँ हैं” गणित का एक प्रसिद्ध प्रमेय है।
  3. “अपरिमित रूप से कई अभाज्य संख्याएँ हैं” पाँच शब्दों से मिलकर बना एक व्यंजक है।

इनमें से पहला वाक्य संख्याओं के बारे में है। जैसे, यह उद्धरण चिह्नों का उपयोग नहीं करता है। तीसरा वाक्य . के बारे में है एक भाषाई अभिव्यक्ति. जैसे, इसे निश्चित रूप से उद्धरण चिह्नों की आवश्यकता होती है, जैसे वाक्य में उनकी आवश्यकता होती है

दूसरे वाक्य के लिए, यह कहीं बीच में है। यह संख्याओं के बारे में नहीं है, लेकिन यह भाषाई अभिव्यक्ति के बारे में भी नहीं है। यह एक . के बारे में है गणितीय तथ्य. उद्धरण चिह्नों के इस प्रयोग को कभी-कभी अर्ध-उद्धरण कहा जाता है। मैं और कुछ नहीं कहूंगा, लेकिन यदि आप रुचि रखते हैं तो इसके बजाय आपको प्रासंगिक विकिपीडिया लेख का संदर्भ देंगे। [इस पर मेरा ध्यान आकर्षित करने के लिए मोहन गणेशलिंगम का धन्यवाद।]

हां, लेकिन “if … तब” और “ का मतलब” का क्या मतलब है?

मैंने ’ का व्याकरण पर चर्चा करने में काफी समय बिताया है “इम्प्लीज”, “इसलिए” और “if … तब” और लगभग कुछ भी नहीं कहा कि उनका वास्तव में क्या मतलब है। भ्रम से बचने के लिए, मैं मुख्य रूप से “if … फिर” पर चर्चा करने जा रहा हूं क्योंकि इसमें कोई संदेह नहीं है कि यह वास्तव में एक संयोजक है। लेकिन कभी-कभी मैं वही करना चाहता हूं जो मैंने पिछली पोस्टों में किया है और कथनों के लिए P और Q अक्षरों का उपयोग करता हूं, और यहां, दुर्भाग्य से, भ्रम के वापस आने का खतरा है। विशेष रूप से, यदि कोई इसके बारे में सावधान हो रहा है तो किसी को यह स्पष्ट करने की आवश्यकता है कि 'बयान के लिए खड़े' का वास्तव में क्या अर्थ है।

क्या यह कुछ ऐसा है जैसे “द रीमैन परिकल्पना” और “रिमेंन जेटा फ़ंक्शन के प्रत्येक गैर-तुच्छ शून्य का वास्तविक भाग 1/2” है? यानी P और Q हैं नाम कुछ बयानों के लिए? बिल्कुल नहीं, क्योंकि हम अभिव्यक्ति की समझ बनाने में सक्षम होना चाहते हैं (याद रखें कि यह लिखने का एक प्रतीकात्मक तरीका है “और”) और शब्द “और” नामों के बजाय बयानों को जोड़ता है। (उदाहरण के लिए, आप कहते हैं, 'रिमैन परिकल्पना और फ़र्मेट' अंतिम प्रमेय'' नहीं कहते हैं, यदि आप यह दावा करना चाहते हैं कि रीमैन परिकल्पना और फ़र्मेट की अंतिम प्रमेय दोनों सत्य हैं।) तो हमें पी के बारे में सोचना चाहिए। और क्यू बयान के रूप में खुद — यह सिर्फ इतना है कि वे अज्ञात कथन हैं।

लेकिन उस स्थिति में हमें लिखने की अनुमति नहीं दी जानी चाहिए या कम से कम यदि इसका अर्थ “ का तात्पर्य है” नहीं है। लेकिन यह बहुत बुरा है। मैं इसे लिखने जा रहा हूँ, और यदि आप इसके बारे में चिंतित हैं तो “” को “if P फिर Q” के रूप में पढ़ें। लेकिन वास्तव में मैं जो अनुशंसा करता हूं वह इसके बारे में चिंता नहीं करना है और अपने दिल में यह जानना है कि आप जो कह रहे हैं उसे बदलना आसान होगा जो पूरी तरह से सही है अगर कभी भी भ्रम का कोई खतरा होता है।

तो आइए हम रुकें, एक गहरी सांस लें, मेरे द्वारा अब तक लिखी गई हर बात को आराम से हमारे दिमाग के पीछे खिसकने दें, और इस सवाल की ओर मुड़ें कि “if … तब” और “ का अर्थ है” वास्तव में मतलब। और इसका जवाब काफी अजीबोगरीब है। रोजमर्रा की अंग्रेजी में, जब हम इनमें से किसी एक शब्द का प्रयोग करते हैं, तो हम यह समझाने की कोशिश कर रहे हैं कि एक . है संपर्क हम जिन दो कथनों से संबंधित हैं (या तो सीधे या उनके संदर्भ में) के बीच। उदाहरण के लिए, अगर मैं कहूं, “अगर हम मौजूदा दर से वातावरण में कार्बन डाइऑक्साइड का उत्सर्जन जारी रखते हैं तो 2100 तक समुद्र का स्तर दो मीटर बढ़ जाएगा, और मैं दोनों के बीच एक कारण लिंक का सुझाव दे रहा हूं।

आइए अब मैं मानक विवरण देता हूं कि गणितज्ञों का “if … तब” से क्या मतलब है। बाद में मैं इसे पर्याप्त रूप से अर्हता प्राप्त कर लूंगा — इसलिए नहीं कि मुझे लगता है कि यह गलत है, बल्कि इसलिए कि मुझे लगता है कि यह पूरी तस्वीर नहीं देता है और अनावश्यक रूप से ऑफ-पुट हो सकता है। कहने की मानक बात यह है कि यह सच है जब तक कि सच न हो और झूठा न हो। यही है, अगर आप इसे स्थापित करना चाहते हैं तो केवल एक चीज जो गलत हो सकती है वह है सच होना और झूठ होना।

एक संक्षिप्त रुकावट: शुद्धतावादी ध्यान देंगे कि मैं असंगत रहा हूँ। अगर है कुछ के बजाय एक बयान को संदर्भित करता है एक बयान, तो मैं ’ नहीं कह सकता “ सच है”। मेरा कहना है, “”” सच है।” वैकल्पिक रूप से, मुझे कहना चाहिए था, “ जब तक और .” क्या हम इस बात से सहमत हो सकते हैं कि मैं यहां थोड़ा मैला हो जाऊंगा? (यदि आप यह नहीं समझते हैं कि यह मैला क्यों है, तो मुझे नहीं लगता कि यह मायने रखता है।)

मैं इसे कुछ उदाहरणों से स्पष्ट करता हूं।

इन चार कथनों में से चौथा कथन काफी उचित लगता है, जबकि अन्य तीन सभी थोड़े अजीब हैं। उदाहरण के लिए, यह बिल्कुल स्पष्ट है कि (हाल ही में पिंक फ़्लॉइड स्टंट के बावजूद) सूअर उड़ नहीं सकते। क्या इससे पहला वाक्य असत्य नहीं हो जाता? और कोई कैसे कह सकता है कि रीमैन परिकल्पना फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय का तात्पर्य है जब कोई भी फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय के प्रमाण की अपेक्षा नहीं करता है जो रीमैन परिकल्पना का उपयोग करता है? और निश्चित रूप से यदि सम और विषम दोनों है, तो यह 19 भी हो सकता है। क्या यह कहना सही होगा कि यह 17 होना चाहिए? चौथे वाक्य के लिए, यह ठीक लगता है: यदि एक अभाज्य 2 के बराबर नहीं है, तो उसके पास कारक के रूप में 2 नहीं हो सकता (या यह अभाज्य नहीं होगा), इसलिए यह वास्तव में विषम होना चाहिए।

खैर, गणितज्ञ कहेंगे कि चारों कथन सत्य हैं। वह’s क्योंकि एकमात्र तरीका है “यदि P तो Q” गलत हो सकता है यदि P सत्य है और Q गलत है। आपको इसे एक के रूप में समझना चाहिए परिभाषा का “if … तब”। आइए इस परिभाषा का उपयोग करते हुए चार कथनों की जाँच करें।

पहले वाले के झूठे होने के लिए, हमें इराक में सामूहिक विनाश के हथियार और सूअरों को उड़ने में असमर्थ होने की आवश्यकता होगी। खैर, हमारे पास धरती पर रहने वाले सूअर हैं लेकिन इराक में सामूहिक विनाश के कोई हथियार नहीं थे, इसलिए पहला कथन सत्य है। (फिर से, यह कोई आध्यात्मिक दावा नहीं है। यह केवल उस तरीके से अनुसरण करता है जिसे हमने परिभाषित करने के लिए चुना है “if … फिर”।)

दूसरे के असत्य होने के लिए, हमें रीमैन परिकल्पना के सत्य होने और फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय के झूठे होने की आवश्यकता होगी। खैर, एंड्रयू विल्स ने रिचर्ड टेलर की मदद से फर्मेट के अंतिम प्रमेय को साबित कर दिया है, इसलिए यह गलत नहीं है। अतः सूची में दूसरा कथन सत्य है।

तीसरे के लिए, उसके असत्य होने का एकमात्र तरीका है यदि सम और विषम दोनों है लेकिन 17 के बराबर नहीं है। लेकिन कोई भी संख्या सम और विषम दोनों नहीं है। अतः तीसरा कथन सत्य है। १९ के बराबर करने की समस्या उत्पन्न नहीं होती क्योंकि पहली जगह में कोई सम और विषम पूर्णांक नहीं होते हैं।

सत्य मूल्य और “कारण”।

“if … तब” और “ का अर्थ है” की सत्य-मूल्य परिभाषा के बारे में कुछ असंतोषजनक है। ऐसा लगता है कि इस विचार को छोड़ दिया गया है कि एक बात सच हो सकती है इसलिये दूसरा सच है। उदाहरण के लिए, यह कहना बिल्कुल गलत होगा कि फर्मेट का अंतिम प्रमेय सत्य है क्योंकि रीमैन परिकल्पना सत्य है।

सौभाग्य से, सत्य-मूल्य की परिभाषा और जिसे मैं ’ की कार्य-कारण अवधारणा कहता हूं, के बीच एक बहुत करीबी संबंध है। मैं कारण अवधारणा की सटीक परिभाषा का प्रयास नहीं करने जा रहा हूं — I’m सिर्फ एक कथन के मूल विचार का जिक्र करते हुए दूसरे के लिए एक कारण है।

आइए एक कथन पर वापस जाएं जो ऊपर दी गई सूची में उचित लगा। यही था।

अब एक और सूक्ष्म अंतर आता है, और यही वह है जिसकी मुझे वास्तव में परवाह है। ऊपर दिए गए उस कथन का वास्तव में क्या अर्थ है? मुझे लगता है कि इसकी व्याख्या करने का एक बहुत ही स्वाभाविक तरीका यह है।

दूसरे शब्दों में, हालांकि यह किसी निश्चित संख्या के बारे में एक बयान जैसा दिखता है, यह तथ्य कि हमें कुछ भी नहीं बताया गया है, हमें इसे थोड़ा अलग तरीके से पढ़ता है। हम अपने आप से कहते हैं, “चूंकि हमें इसके बारे में कुछ भी नहीं बताया गया है, इसका इरादा एक मनमाना के बारे में एक सामान्य बयान के रूप में होना चाहिए, तो यह वास्तव में क्या कह रहा है कि यदि एक सकारात्मक पूर्णांक में एक संपत्ति है — एक प्रमुख है 2 के बराबर नहीं — तो इसका एक और — विषम है।” अगर हम इस तरह से चीजों के बारे में सोच रहे हैं, तो यह कहना आकर्षक है कि संपत्ति “ एक अभाज्य है 2 के बराबर नहीं है। #8221 का अर्थ है “is विषम” संपत्ति।

मैंने अभी जो सुझाव दिया है वह मानक गणितीय अभ्यास नहीं है, लेकिन सिद्धांत रूप में यह हो सकता था। हालांकि, गणित में यह अविश्वसनीय रूप से महत्वपूर्ण है कि हर समय पूरी तरह से सुनिश्चित हो कि व्यक्ति किस प्रकार की वस्तुओं से निपट रहा है। मैंने पहले कहा था कि “if … फिर” बयानों को जोड़ता है और “का अर्थ है” संज्ञा वाक्यांशों को जोड़ता है जो बयानों को संदर्भित करते हैं। मैंने यह नहीं कहा कि दोनों में से कोई भी संपत्ति को जोड़ता है। तो अगर मैं यह कहना चाहता हूं कि एक संपत्ति दूसरे का तात्पर्य है, तो मुझे बिल्कुल स्पष्ट होना होगा कि यह एक है विभिन्न शब्द “का अर्थ है” (भले ही यह पिछले वाले से संबंधित हो)।

ठीक है, तो मुझे सावधान रहने दो। सबसे पहले, संपत्ति क्या है? यह वही है जो आपको तब मिलता है जब आप एक बयान लेते हैं जो एक चर से संबंधित होता है और आप उस चर को हटा देते हैं। उदाहरण के लिए, अगर मैं बयान लेता हूं “ एक पूर्ण वर्ग है” और उसमें से चर को हटा दें, तो मुझे संपत्ति मिलती है “एक पूर्ण वर्ग है”। एक संपत्ति एक ऐसी चीज है जिसे आप किसी और चीज के बारे में कहते हैं। (यह लगभग एक विशेषण की तरह है, लेकिन अतिरिक्त “is” के कारण काफी नहीं है।) यदि आप इसके बारे में अधिक औपचारिक होना चाहते हैं, यदि आपको सभी सकारात्मक पूर्णांकों के सेट की तरह एक सेट दिया जाता है, तो इससे जुड़ी एक संपत्ति उस सेट के साथ सेट के तत्वों से बयानों तक एक फ़ंक्शन है। उदाहरण के लिए, प्रॉपर्टी “is prime” स्टेटमेंट को नंबर लेती है “ is prime”। (यह कहना अधिक परंपरागत है कि हम वास्तव में इन कथनों के सत्य मूल्यों की परवाह करते हैं। इसलिए संपत्ति '#8220is अभाज्य' है' प्रत्येक अभाज्य संख्या पर TRUE और अन्य सभी संख्याओं पर FALSE मान लेती है। मैं साथ रहूंगा मेरी अपरंपरागत चर्चा यहाँ।)

अब मान लीजिए कि हमारे पास धनात्मक पूर्णांकों से संबद्ध दो गुण A और B हैं। हम कब कहते हैं कि A का अर्थ B है (मेरी अपरंपरागत परिभाषाओं के अनुसार)? खैर, प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक के लिए हमारे पास एक कथन और एक कथन है जिसका अर्थ है (संपत्ति के अर्थ में) यदि प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक के लिए, कथन कथन (सत्य-मूल्य के अर्थ में) को दर्शाता है। दूसरे शब्दों में, जब भी सत्य है, वैसा ही है और अन्यथा कुछ भी हो सकता है। ऊपर के उदाहरण में, संपत्ति है “is एक अभाज्य है जो 2 के बराबर नहीं है”, संपत्ति है “is विषम है”, और प्रत्येक के लिए कथन है “ एक अभाज्य है जो 2 के बराबर नहीं है″ और है कथन “ विषम है”। हर समय सत्य है, जो कब है, ऐसा ही है इससे हमें यह अहसास होता है कि संपत्ति संपत्ति का '#8220कारण' करती है।

मुझे उस कथन पर वापस जाने दें जो उचित लगा।

इसका क्या अर्थ है, इसके बारे में सावधान रहना महत्वपूर्ण है। क्या यह किसी विशिष्ट के बारे में एक बयान है? यदि ऐसा है, तो हमें सख्त सत्य-मूल्य अर्थ में “if … फिर” की व्याख्या करनी चाहिए। या यह वास्तव में कहने का एक तरीका है, “हर अभाज्य 2 के बराबर नहीं है विषम है”? उस स्थिति में, उसके पास एक कारणात्मक अनुभव अधिक होता है।

हर समय सब कुछ स्पष्ट रखने का सबसे अच्छा तरीका यह है कि जब आप वास्तव में सभी के बारे में बात कर रहे हों तो उपरोक्त वाक्य न लिखें इसके बजाय, आप लिख सकते हैं

अब, यदि आप इस कथन के केवल उस भाग को चुनते हैं जो कहता है, “यदि अभाज्य है 2 के बराबर नहीं, तो विषम है,” तो आपके पास कुछ ऐसा है जिसे सत्य-मूल्य के अर्थ में व्याख्या किया जाना चाहिए। लेकिन जब आप उन सत्य-मूल्य वाले बयानों को सभी सकारात्मक पूर्णांकों पर एक साथ लागू करते हैं, तो आपके पास एक अच्छा “कारण” कथन होता है कि संपत्ति “is a prime not equal to 2” का अर्थ है संपत्ति “is विषम है। #8221.

एक मूर्खतापूर्ण कटौती और एक समझदार कटौती।

क्योंकि निहितार्थ की एक प्रकार की कार्य-कारण धारणा है, और क्योंकि यह एक तरह से गणित करते समय हम वास्तव में परवाह करते हैं, इसलिए मैं “ का अर्थ स्पष्ट करना पसंद करता हूं या “if … तब&# 8221 उन उदाहरणों के संदर्भ में जिनमें चर शामिल हैं। अगर मैं दो निश्चित बयानों जैसे 'मार्गरेट थैचर ब्रिटेन के प्रधान मंत्री हुआ करता था' और #8221 हाल ही में जापान में सुनामी थी और आपको बता दूं कि, उनके बीच किसी भी स्पष्ट संबंध की कमी के बावजूद, पहला कथन दूसरे कथन का तात्पर्य है क्योंकि दूसरा कथन सत्य होता है, तो यह स्पष्ट है कि मैं जिस निहितार्थ का उपयोग कर रहा हूं उसका एक बात सच होने से कोई लेना-देना नहीं है इसलिये एक और बात सच है: सबसे उग्र वामपंथी व्यक्ति भी थैचर के प्रीमियरशिप पर जापानी सुनामी को दोष नहीं देने जा रहा है। लेकिन, “यदि तब ,” जैसा बयान पूरी तरह से उचित है। इसके अलावा, क्योंकि एक सामान्य तत्व है जिसका एक अनंत सेट हो सकता है, हम सभी के माध्यम से चलकर और बयानों के सत्य मूल्यों की जांच करके इस तरह के एक बयान को स्थापित नहीं कर सकते हैं और इसके बजाय, हमें एक देना होगा प्रमाण — यानी क्यों की व्याख्या अवश्य इस प्रकार, एक बार जब आप चर के साथ बयानों को देखना शुरू करते हैं, तो निहितार्थ की सत्य-मूल्य धारणा आपको “कारणों” और “कारणों” की तलाश करने के लिए मजबूर करती है ताकि आप बहुत सारे सत्य-मूल्य स्थापित कर सकें एक बार में तथ्य। (मैं यहां इस संभावना को छोड़ रहा हूं कि एक बयान कुछ अर्थों में “बस सच हो सकता है”। उदाहरण के लिए, कई लोग निम्नलिखित संभावना को गंभीरता से लेते हैं। शायद संपत्ति “ सम है और कम से कम 4” इसका मतलब है कि संपत्ति 'दो अभाज्य संख्याओं का योग है' इस अर्थ में कि कोई भी संख्या सम नहीं है और कम से कम 4 दो अभाज्य संख्याओं के योग के बिना है, लेकिन शायद ऐसा भी नहीं है कारण इसके लिए — शायद ऐसा ही होता है।)

यहां बयानों के बीच अंतर का एक और उदाहरण दिया गया है जिसमें पैरामीटर और बयान शामिल नहीं हैं। निम्नलिखित दावे पर विचार करें।

मैं इसे दो अलग-अलग तरीकों से साबित करने जा रहा हूं।

प्रमाण १ अपरिमेय है, इसलिए कथन “ परिमेय है” असत्य है, और इसलिए अन्य सभी कथनों का अर्थ है। विशेष रूप से, इसका तात्पर्य है कि एक पूर्णांक है जो सम और विषम दोनों है।

प्रमाण २। यदि परिमेय है, तो हम धनात्मक पूर्णांक प्राप्त कर सकते हैं और ऐसा जिसका अर्थ है कि आज्ञा देना सबसे बड़ा पूर्णांक है जैसे कि एक पूर्ण वर्ग है, सम होना चाहिए। (इसे देखने के लिए, केवल के अभाज्य गुणनखंड पर विचार करें) परंतु और सबसे बड़ा k जिसके लिए गुणज विषम है। (इसे देखने के लिए, केवल के अभाज्य गुणनखंड पर विचार करें) इसलिए, सम और विषम दोनों है, जो परिणाम को सिद्ध करता है।

इन दोनों में से कौन सा तर्क अधिक दिलचस्प है? निस्संदेह दूसरा, क्योंकि यह वास्तव में हमें तर्कहीनता का प्रमाण देता है तो क्या पहला तर्क बिल्कुल मान्य है? आप इस पर इस आधार पर आपत्ति कर सकते हैं कि यह बिना प्रमाण के इस तथ्य का उपयोग करता है जो तर्कहीन है। लेकिन हम इस प्रश्न को और अधिक रोचक बना सकते हैं। वहाँ है (ऐसा होता है) की तर्कहीनता का एक अलग प्रमाण यह कथन शामिल नहीं करता है कि कुछ सकारात्मक पूर्णांक सम और विषम दोनों हैं। क्या होगा अगर हमने उस तर्क का इस्तेमाल किया, तो निष्कर्ष निकाला कि “ तर्कसंगत है” झूठा था, और फिर निष्कर्ष निकाला “एक पूर्णांक मौजूद है जो सम और विषम दोनों है” जिस तरह से तर्क 1 ऊपर करता है। क्या यह वैध कटौती होगी?

मुझे लगता है कि इसका उत्तर हां होना चाहिए, लेकिन यह एक नहीं है सुहावना होते हुए वैध कटौती। यह नहीं दिखा रहा है कि की तर्कहीनता किसी भी तरह से एक विरोधाभास के कारण होती है जिसमें समानता शामिल है, क्योंकि हमने इसे दूसरे, और असंबंधित, झूठे बयान से घटाया है।

यदि हम निहितार्थ को प्राथमिक रूप से कुछ ऐसा मानते हैं जिसे हम मापदंडों के साथ बयानों पर लागू करते हैं, और इसलिए अप्रत्यक्ष रूप से और गुणों के लिए एक अलग अर्थ में, तो हमारा प्रारंभिक बिंदु कथन नहीं है “ अपरिमेय है” बल्कि कथन ““ है . और हमारा निष्कर्ष, कि एक पूर्णांक मौजूद है जो सम और विषम दोनों है, अधिक सटीक (और सूचनात्मक) कथन से घटा है, “उच्चतम ऐसा जो सम और विषम दोनों का गुणज है”।

उपरोक्त उदाहरण के बारे में एक अंतिम टिप्पणी के रूप में, जो मुझे पहले से ही एक बिंदु पर जोर देने की अनुमति देता है, मान लीजिए कि मैं लिखने से तर्कहीनता का प्रमाण शुरू करता हूं,

मैं वास्तव में यही कह रहा हूं कि जो भी हो और हो सकता है, यदि तब दूसरे शब्दों में, हालांकि ऐसा लगता है कि मैं एक विशिष्ट जोड़ी के बारे में बात कर रहा हूं और वास्तव में मैं सामान्य कटौती कर रहा हूं।

’if … तब” और “ का तात्पर्य” से संबंधित सामान्य परंपरा के बारे में क्या अच्छा है?

मुझे लगता है कि जब हम कथनों पर विचार करते हैं तो मैंने इस प्रश्न का आंशिक रूप से उत्तर दिया है मापदंडों के साथ तब “का अर्थ है” का सत्य-मूल्य अर्थ अधिक सहज “कारण” अर्थ “निहित” के बहुत करीब महसूस करता है। हालांकि, समझौता कुल नहीं है। इस पोस्ट के शुरुआती दिनों में से एक “मूर्खतापूर्ण” उदाहरण यह था।

यह अजीब लगता है, क्योंकि यद्यपि हम जानते हैं कि सम और विषम दोनों नहीं हो सकते हैं, हमें यह भी लगता है अगर सम या विषम थे, उस तथ्य के बारे में कुछ भी नहीं होगा जो किसी अन्य संख्या के विपरीत 17 नंबर की ओर बढ़ता है। मैं विषमता की भावना को नकार नहीं सकता। मैं केवल इतना कह सकता हूं कि काल्पनिक स्थिति कभी उत्पन्न नहीं होती क्योंकि परिकल्पना, जो सम और विषम है, असंभव है।

मैं क्या कर सकते हैं हालाँकि, यह समझाता है कि मैं एक अलग सम्मेलन को खोजने की कोशिश क्यों नहीं करना चाहता जो इस कथन को गलत बना दे। मैं ऐसा नहीं करना चाहता क्योंकि यह मुझे कुछ सामान्य सिद्धांतों को छोड़ने के लिए मजबूर करेगा जो मुझे पसंद हैं। उनमें से एक जिसका मैंने पहले ही उल्लेख किया है:

मुझे आशा है कि आप इस बात से सहमत होंगे कि यह बहुत ही उचित लगता है, और अगर हमें ऐसा नहीं करना है तो हम इसके बदसूरत अपवादों को शुरू नहीं करना चाहते हैं।

यहां एक और गणितीय सिद्धांत है जिससे मुझे लगता है कि आपको भी इससे सहमत होना होगा।

आइए अब इन दो सिद्धांतों को लागू करें। मैं ’m संपत्ति होने जा रहा हूं “is सम और विषम दोनों” और मैं’m संपत्ति होने जा रहा हूं 󈬁” के बराबर है। फिर ऐसे का समुच्चय जो रिक्त समुच्चय है (क्योंकि नहीं सम और विषम दोनों है)। ऐसा समुच्चय जो समुच्चय है चूँकि रिक्त समुच्चय समुच्चय का उपसमुच्चय है, पहला सिद्धांत हमें बताता है कि इसका तात्पर्य है

इस चर्चा को संक्षेप में प्रस्तुत करने के लिए, निहितार्थ की औपचारिक गणितीय धारणा थोड़ी अजीब है, लेकिन अधिकांश अजीबता गायब हो जाती है यदि आप केवल मापदंडों के साथ बयानों को देखते हैं, जो कि वे बयान हैं जिनकी हम परवाह करते हैं। ऐसा प्रत्येक कथन उन मापदंडों की एक संपत्ति से मेल खाता है, और गुणों का निहितार्थ एक चीज की हमारी सहज धारणा के करीब है “मेकिंग” बयानों के निहितार्थ की तुलना में एक और सच है। फिर भी एक या दो विषमताएं हैं, लेकिन परिभाषा की शुद्धता और सटीकता के लिए भुगतान करने के लिए ये एक छोटी सी कीमत है और इस तथ्य के लिए कि यह हमें कुछ पोषित सामान्य सिद्धांतों को बनाए रखने की अनुमति देता है।

एक व्यायाम — को बहुत गंभीरता से नहीं लिया जाना चाहिए।

(i) सिद्ध कीजिए कि बोरसुक का अनुमान रीमैन परिकल्पना को दर्शाता है।

संकेत: यदि आपको भाग (i) कठिन लगता है, तो आप इस श्रृंखला की पहली पोस्ट में दी गई सामान्य अध्ययन सलाह में से किसी एक को लागू नहीं कर रहे हैं।


वीडियो देखना: समकरण क हल करन सख Linear equations in two variable by Atul sir (दिसंबर 2021).