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9.3: वर्गमूल व्यंजकों का सरलीकरण


वर्गमूल व्यंजक को सरल बनाने की प्रक्रिया का अपना अध्ययन शुरू करने के लिए, हमें तीन तथ्यों पर ध्यान देना चाहिए: एक तथ्य पूर्ण वर्ग से संबंधित और दो वर्गमूल के गुणों से संबंधित।

बिल्कुल सही वर्ग

वे संख्याएँ जो परिमेय संख्याओं के वर्ग होती हैं, कहलाती हैं पूर्ण वर्ग. संख्याएँ (25) और (dfrac{1}{4}) पूर्ण वर्गों के उदाहरण हैं क्योंकि (25 = 5^2) और (dfrac{1}{4} = (dfrac) {1}{2})^2), और (5) और (dfrac{1}{2}) परिमेय संख्याएं हैं। संख्या (2) एक पूर्ण वर्ग नहीं है क्योंकि (2 = (sqrt{2})^2) और (sqrt{2}) एक परिमेय संख्या नहीं है।

यद्यपि हम अपरिमेय संख्याओं का विस्तृत अध्ययन नहीं करेंगे, हम निम्नलिखित अवलोकन करेंगे:

ध्यान दें

कोई भी संकेतित वर्गमूल जिसका मूलांक एक पूर्ण वर्ग संख्या नहीं है एक अपरिमेय संख्या है।

संख्याएँ (sqrt{6}, sqrt{15}) और (sqrt{dfrac{3}{4}}) प्रत्येक अपरिमेय हैं क्योंकि प्रत्येक रेडिकैंड (6, 15, dfrac{3 }{4}) एक पूर्ण वर्ग नहीं है।

स्क्वायर रूट्स की उत्पाद संपत्ति

नोटिस जो

(शुरू {सरणी} {फ्लशबाएं}
sqrt{9 cdot 4} &= sqrt{36} &= 6 & ext{ और }
sqrt{9} sqrt{4} &= 3 cdot 2 &= 6
अंत{सरणी})

उत्पाद संपत्ति (sqrt{xy} = sqrt{x} sqrt{y})

इससे पता चलता है कि सामान्य तौर पर, यदि (x) और (y) सकारात्मक वास्तविक संख्याएं हैं,

(sqrt{xy} = sqrt{x} sqrt{y})

उत्पाद का वर्गमूल वर्गमूल का गुणनफल होता है।

वर्गमूलों की भागफल संपत्ति

हम भागफल के लिए एक समान नियम सुझा सकते हैं। नोटिस जो

(sqrt{dfrac{36}{4}} = sqrt{9} = 3) और

(dfrac{sqrt{36}}{sqrt{4}} = dfrac{6}{2} = 3)।

चूँकि दोनों (dfrac{36}{4}) और (dfrac{sqrt{36}}{sqrt{4}}) बराबर (3), यह होना चाहिए

(sqrt{dfrac{36}{4}} = dfrac{sqrt{36}}{sqrt{4}})

भागफल संपत्ति (sqrt{dfrac{x}{y}} = dfrac{sqrt{x}}{sqrt{y}})

इससे पता चलता है कि सामान्य तौर पर, यदि (x) और (y) सकारात्मक वास्तविक संख्याएं हैं,

(sqrt{dfrac{x}{y}} = dfrac{sqrt{x}}{sqrt{y}}, y ot = 0)।

भागफल का वर्गमूल वर्गमूल का भागफल होता है।

सावधान

यह याद रखना बेहद जरूरी है कि

(sqrt{x + y} ot = sqrt{x} + sqrt{y}) या (sqrt{x - y} ot = sqrt{x} - sqrt{y} )

उदाहरण के लिए, ध्यान दें कि (sqrt{16 + 9} = sqrt{25} = 5), लेकिन (sqrt{16} + sqrt{9} = 4 + 3 = 7)

हम दो प्रकार के वर्गमूलों के बीच अंतर करके एक वर्गमूल व्यंजक को सरल बनाने की प्रक्रिया का अध्ययन करेंगे: वर्गमूल जिसमें एक अंश शामिल नहीं है और वर्गमूल जिसमें एक अंश शामिल है।

वर्गमूल भिन्नों को शामिल नहीं करते

एक वर्गमूल जिसमें भिन्न शामिल नहीं है, में है सरलीकृत रूप यदि मूलांक में कोई पूर्ण वर्ग नहीं है।

वर्गमूल (sqrt{x},. sqrt{ab}, sqrt{5mn}, sqrt{2(a+5)}) सरलीकृत रूप में हैं क्योंकि किसी भी मूलांक में पूर्ण वर्ग नहीं है।

वर्गमूल (sqrt{x^2}, sqrt{a^3}=sqrt{a^2a}) हैं नहीं सरलीकृत रूप में क्योंकि प्रत्येक मूलांक में एक पूर्ण वर्ग होता है।

एक वर्गमूल व्यंजक को सरल बनाने के लिए जिसमें कोई भिन्न शामिल नहीं है, हम निम्नलिखित दो नियमों का उपयोग कर सकते हैं:

भिन्नों के बिना वर्गमूलों को सरल बनाना

  1. यदि रेडिकैंड के एक गुणनखंड में a के साथ एक चर होता है यहाँ तक की घातांक, वर्गमूल घातांक को 2 से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है।
  2. यदि रेडिकैंड के एक गुणनखंड में a के साथ एक चर होता है अजीब घातांक, वर्गमूल को पहले चर कारक को दो कारकों में विभाजित करके प्राप्त किया जाता है ताकि एक के पास एक सम घातांक हो और दूसरे के पास 1 का घातांक हो, फिर वर्गमूल के गुणनफल का उपयोग करके।

नमूना सेट ए

प्रत्येक वर्गमूल को सरल कीजिए।

उदाहरण (PageIndex{1})

(sqrt{a^4})। घातांक सम है: (dfrac{4}{2} = 2)। वर्गमूल पर घातांक (2) है।

(sqrt{a^4} = a^2)

उदाहरण (PageIndex{2})

(sqrt{a^6b^{10}})। दोनों घातांक सम हैं: (dfrac{6}{2} = 3) और (dfrac{10}{2} = 5)। (a^6) के वर्गमूल पर घातांक (3) है। वर्गमूल पर घातांक यदि (b^{10}) (5) है।

(sqrt{a^6gb^{10}} = a^3b^5)

उदाहरण (PageIndex{3})

(sqrt{y^5})। घातांक विषम है: (y^5 = y^4y)। NS

(sqrt{y^5} = sqrt{y^4y} = sqrt{y^4} sqrt{y} = y^2 sqrt{y})

उदाहरण (PageIndex{4})

(शुरू {सरणी} {फ्लशबाएं}
sqrt{36a^7b^{11}c^{20}} &= sqrt{6^2a^6ab^{10}bc^{20}} & a^7 = a^6a, b^{11} = बी^{10}बी
&= sqrt{6^2a^6b^{10}c^{20} cdot ab} और ext{ गुणन के क्रमविनिमेय गुण से}
&= sqrt{6^2a^6b^{10}c^{20}} sqrt{ab} & ext{ वर्गमूल के गुणनफल द्वारा}
&= 6a^3b^5c^{10} sqrt{ab}
अंत{सरणी})

उदाहरण (PageIndex{5})

(शुरू {सरणी} {फ्लशबाएं}
sqrt{49x^8y^3(a-1)^6} &= sqrt{7^2x^8y^2y(a-1)^6}
&= sqrt{7^2x^8y^2(a-1)^6} sqrt{y}
&= 7x^4y(a-1)^3 sqrt{y}
अंत{सरणी})

उदाहरण (PageIndex{6})

(sqrt{75} = sqrt{25 cdot 3} = sqrt{5^2 cdot 3}= sqrt{5^2} sqrt{3} = 5 sqrt{3})

अभ्यास सेट ए

प्रत्येक वर्गमूल को सरल कीजिए।

अभ्यास समस्या (PageIndex{1})

(sqrt{m^8})

उत्तर

(एम^4)

अभ्यास समस्या (PageIndex{2})

(sqrt{h^{14}k^{22}})

उत्तर

(h^7k^{11})

अभ्यास समस्या (PageIndex{3})

(sqrt{81a^{12}b^6c^{38}})

उत्तर

(9a^6b^3c^{19})

अभ्यास समस्या (PageIndex{4})

(sqrt{144x^4y^{80}(b+5)^{16}})

उत्तर

(12x^2y^{40}(b+5)^8)

अभ्यास समस्या (PageIndex{5})

(sqrt{w^5})

उत्तर

(w^2 sqrt{w})

अभ्यास समस्या (PageIndex{6})

(sqrt{w^7z^3k^{13}})

उत्तर

(w^3zk^6 sqrt{wzk})

अभ्यास समस्या (PageIndex{7})

(sqrt{27a^3b^4c^5d^6})

उत्तर

(3ab^2c^2d^3 sqrt{3ac})

अभ्यास समस्या (PageIndex{8})

(sqrt{180m^4n^{15}9a-12)^{15}})

उत्तर

(6m^2n^7(a-12)^7 sqrt{5n(a-12)})

भिन्नों को शामिल करने वाले वर्गमूल

एक वर्गमूल व्यंजक सरलीकृत रूप में होता है यदि वहाँ हैं

  1. मूलांक में कोई पूर्ण वर्ग नहीं है,
  2. मूलांक में कोई भिन्न नहीं, या
  3. हर में कोई वर्गमूल व्यंजक नहीं।

वर्गमूल भाव (sqrt{5a}, dfrac{4sqrt{3xy}}{5}), और (dfrac{11m^2n sqrt{a-4}}{2x^2} ) सरलीकृत रूप में हैं

वर्गमूल भाव (sqrt{dfrac{3x}{8}}, sqrt{dfrac{4a^4b^3}{5}}), और (dfrac{2y}{sqrt{ 3x}}) हैं नहीं सरलीकृत रूप में।

भिन्नों के साथ वर्गमूलों को सरल बनाना

वर्गमूल व्यंजक (sqrt{dfrac{x}{y}}) को सरल बनाने के लिए,

  1. (dfrac{sqrt{x}}{sqrt{y}}) नियम (sqrt{dfrac{x}{y}} = dfrac{sqrt{x} का प्रयोग करके व्यंजक लिखें। }{वर्ग{y}})।
  2. (dfrac{sqrt{y}}{sqrt{y}}) के रूप में भिन्न को 1 से गुणा करें।
  3. शेष भिन्न को सरल कीजिए, (dfrac{sqrt{xy}}{y})।

भाजक को युक्तिसंगत बनाना

चरण 2 में शामिल प्रक्रिया को कहा जाता है भाजक को युक्तिसंगत बनाना। यह प्रक्रिया इस तथ्य का उपयोग करके हर से वर्गमूल व्यंजक हटाती है कि ((sqrt{y})(sqrt{y}) = y)।

नमूना सेट बी

प्रत्येक वर्गमूल को सरल कीजिए।

उदाहरण (PageIndex{7})

(sqrt{dfrac{9}{25}} = dfrac{sqrt{9}}{sqrt{25}} = dfrac{3}{5})

उदाहरण (PageIndex{8})

(sqrt{dfrac{3}{5}}=dfrac{sqrt{3}}{sqrt{5}}=dfrac{sqrt{3}}{sqrt{5}} cdot dfrac{sqrt{5}}{sqrt{5}}=dfrac{sqrt{15}}{5})

उदाहरण (PageIndex{9})

(sqrt{dfrac{9}{8}}=dfrac{sqrt{9}}{sqrt{8}}=dfrac{sqrt{9}}{sqrt{8}} cdot dfrac{sqrt{8}}{sqrt{8}}=dfrac{3 sqrt{8}}{8}=dfrac{3 sqrt{4 cdot 2}}{8}=dfrac {3 sqrt{4} sqrt{2}}{8}=dfrac{3 cdot 2 sqrt{2}}{8}=dfrac{3 sqrt{2}}{4})

उदाहरण (PageIndex{10})

(sqrt{dfrac{k^{2}}{m^{3}}}=dfrac{sqrt{k^{2}}}{sqrt{m^{3}}}=dfrac {k}{sqrt{m^{3}}}=dfrac{k}{sqrt{m^{2} m}}=dfrac{k}{sqrt{m^{2} sqrt{ m}}}=dfrac{k}{m sqrt{m}}=dfrac{k}{m sqrt{m}} cdot dfrac{sqrt{m}}{sqrt{m}} =dfrac{k sqrt{m}}{m sqrt{m} sqrt{m}}=dfrac{k sqrt{m}}{m cdot m}=dfrac{k sqrt{m }}{एम^{2}})

उदाहरण (PageIndex{11})

(शुरू {सरणी} {फ्लशबाएं}
sqrt{x^2 - 8x + 16} &= sqrt{(x-4)^2}
&= x-4
अंत{सरणी})

अभ्यास सेट बी

प्रत्येक वर्गमूल को सरल कीजिए।

अभ्यास समस्या (PageIndex{9})

(sqrt{dfrac{81}{25}})

उत्तर

(dfrac{9}{5})

अभ्यास समस्या (PageIndex{10})

(sqrt{dfrac{2}{7}})

उत्तर

(dfrac{sqrt{14}}{7})

अभ्यास समस्या (PageIndex{11})

(sqrt{dfrac{4}{5}})

उत्तर

(dfrac{2 sqrt{5}}{5})

अभ्यास समस्या (PageIndex{12})

(sqrt{dfrac{10}{4}})

उत्तर

(dfrac{sqrt{10}}{2})

अभ्यास समस्या (PageIndex{13})

(sqrt{dfrac{9}{4}})

उत्तर

(dfrac{3}{2})

अभ्यास समस्या (PageIndex{14})

(sqrt{dfrac{a^3}{6}})

उत्तर

(dfrac{a sqrt{6a}}{6})

अभ्यास समस्या (PageIndex{15})

(sqrt{dfrac{y^4}{x^3}})

उत्तर

(dfrac{y^2 sqrt{x}}{x^2})

अभ्यास समस्या (PageIndex{16})

(sqrt{dfrac{32a^5}{b^7}})

उत्तर

(dfrac{4a^2 sqrt{2ab}}{b^4})

अभ्यास समस्या (PageIndex{17})

(sqrt{(x+9)^2})

उत्तर

(x+9)

अभ्यास समस्या (PageIndex{18})

(sqrt{x^2 + 14x + 49})

उत्तर

(x+7)

अभ्यास

निम्नलिखित समस्याओं के लिए, प्रत्येक रेडिकल व्यंजक को सरल कीजिए।

व्यायाम (PageIndex{1})

(sqrt{8b^2})

उत्तर

(2b sqrt{2})

व्यायाम (PageIndex{2})

(sqrt{20a^2})

व्यायाम (PageIndex{3})

(sqrt{24x^4})

उत्तर

(2x^2 sqrt{6})

व्यायाम (PageIndex{4})

(sqrt{27y^6})

व्यायाम (PageIndex{5})

(sqrt{a^5})

उत्तर

(a^2sqrt{a})

व्यायाम (PageIndex{6})

(sqrt{m^7})

व्यायाम (PageIndex{7})

(sqrt{x^{11}})

उत्तर

(x^5 sqrt{x})

व्यायाम (PageIndex{8})

(sqrt{y^{17}})

व्यायाम (PageIndex{9})

(sqrt{36n^9})

उत्तर

(6n^4 sqrt{n})

व्यायाम (PageIndex{10})

(sqrt{49x^{13}})

व्यायाम (PageIndex{11})

(sqrt{100x^5y^{11}})

उत्तर

(10x^2y^5 sqrt{xy})

व्यायाम (PageIndex{12})

(sqrt{64a^7b^3})

व्यायाम (PageIndex{13})

(5 sqrt{16m^6n^7})

उत्तर

(20m^3n^3 sqrt{n})

व्यायाम (PageIndex{14})

(8 sqrt{9a^4b^{11}})

व्यायाम (PageIndex{15})

(3 sqrt{16x^3})

उत्तर

(12x वर्ग {x})

व्यायाम (PageIndex{16})

(8 sqrt{25y^3})

व्यायाम (PageIndex{17})

(sqrt{12a^4})

उत्तर

(2a^2 sqrt{3})

व्यायाम (PageIndex{18})

(sqrt{32x^7})

उत्तर

(4x^3 sqrt{2x})

व्यायाम (PageIndex{19})

(sqrt{12y^{13}})

व्यायाम (PageIndex{20})

(sqrt{50a^3b^9})

उत्तर

(5ab^4 sqrt{2ab})

व्यायाम (PageIndex{21})

(sqrt{48p^{11}q^5})

व्यायाम (PageIndex{22})

(4 sqrt{18a^5b^{17}})

उत्तर

(12a^2b^8 sqrt{2ab})

व्यायाम (PageIndex{23})

(8 sqrt{108x^{21}y^3})

व्यायाम (PageIndex{24})

(-4 sqrt{75a^4b^6})

उत्तर

(-20a^2b^3 sqrt{3})

व्यायाम (PageIndex{25})

(-6 sqrt{72x^2y^4z^{10}})

व्यायाम (PageIndex{26})

(-sqrt{b^{12}})

उत्तर

(-बी^6)

व्यायाम (PageIndex{27})

(- sqrt{c^{18}})

व्यायाम (PageIndex{28})

(sqrt{a^2b^2c^2})

उत्तर

(एबीसी)

व्यायाम (PageIndex{29})

(sqrt{4x^2y^2z^2})

व्यायाम (PageIndex{30})

(- sqrt{9a^2b^3})

उत्तर

(-3ab sqrt{b})

व्यायाम (PageIndex{31})

(- sqrt{16x^4y^5})

व्यायाम (PageIndex{32})

(sqrt{m^6n^8p^{12}q^{20}})

उत्तर

(m^3n^4p^6q^{10})

व्यायाम (PageIndex{33})

(sqrt{r^2})

व्यायाम (PageIndex{34})

(sqrt{p^2})

उत्तर

(पी)

व्यायाम (PageIndex{35})

(sqrt{dfrac{1}{4}})

व्यायाम (PageIndex{36})

(sqrt{dfrac{1}{16}})

उत्तर

(dfrac{1}{4})

व्यायाम (PageIndex{37})

(sqrt{dfrac{4}{25}})

व्यायाम (PageIndex{38})

(sqrt{dfrac{9}{49}})

उत्तर

(dfrac{3}{7})

व्यायाम (PageIndex{39})

(dfrac{5 sqrt{8}}{sqrt{3}})

व्यायाम (PageIndex{40})

(dfrac{2 sqrt{32}}{sqrt{3}})

उत्तर

(dfrac{8 sqrt{6}}{3})

व्यायाम (PageIndex{41})

(sqrt{dfrac{5}{6}})

व्यायाम (PageIndex{42})

(sqrt{dfrac{2}{7}})

उत्तर

(dfrac{sqrt{14}}{7})

व्यायाम (PageIndex{43})

(sqrt{dfrac{3}{10}})

व्यायाम (PageIndex{44})

(sqrt{dfrac{4}{3}})

उत्तर

(dfrac{2 sqrt{3}}{3})

व्यायाम (PageIndex{45})

(-sqrt{dfrac{2}{5}})

व्यायाम (PageIndex{46})

(-sqrt{dfrac{3}{10}})

उत्तर

(-dfrac{sqrt{30}}{10})

व्यायाम (PageIndex{47})

(sqrt{dfrac{16a^2}{5}})

व्यायाम (PageIndex{48})

(sqrt{dfrac{24a^5}{7}})

उत्तर

(dfrac{2a^2 sqrt{42a}}{7})

व्यायाम (PageIndex{49})

(sqrt{dfrac{72x^2y^3}{5}})

व्यायाम (PageIndex{50})

(sqrt{dfrac{2}{a}})

उत्तर

(dfrac{sqrt{2a}}{a})

व्यायाम (PageIndex{51})

(sqrt{dfrac{5}{b}})

व्यायाम (PageIndex{52})

(sqrt{dfrac{6}{x^3}})

उत्तर

(dfrac{sqrt{6x}}{x^2})

व्यायाम (PageIndex{53})

(sqrt{dfrac{12}{y^5}})

व्यायाम (PageIndex{54})

(sqrt{dfrac{49x^2y^5z^9}{25a^3b^{11}}})

उत्तर

(dfrac{7 x y^{2} z^{4} sqrt{a b y z}}{5 a^{2} b^{6}})

व्यायाम (PageIndex{55})

(sqrt{dfrac{27 x^{6} y^{15}}{3^{3} x^{3} y^{5}}})

व्यायाम (PageIndex{56})

(sqrt{(b+2)^4})

उत्तर

((बी+2)^2)

व्यायाम (PageIndex{57})

(sqrt{(a-7)^8})

व्यायाम (PageIndex{58})

(sqrt{(x+2)^6})

उत्तर

((x+2)^3)

व्यायाम (PageIndex{59})

(sqrt{(x+2)^2(x+1)^2})

व्यायाम (PageIndex{60})

(sqrt{(a-3)^4(a-1)^2})

उत्तर

((a-3)^2(a-1))

व्यायाम (PageIndex{61})

(sqrt{(b+7)^8(b-7)^6})

व्यायाम (PageIndex{62})

(sqrt{a^2 - 10a + 25})

उत्तर

((ए-5))

व्यायाम (PageIndex{63})

(sqrt{b^2 + 6b + 9})

व्यायाम (PageIndex{64})

(sqrt{(a^2 - 2a + 1)^4})

उत्तर

((a-1)^4)

व्यायाम (PageIndex{65})

(sqrt{(x^2 + 2x + 1)^{12}})

समीक्षा के लिए व्यायाम

व्यायाम (PageIndex{66})

असमानता को हल करें (3(a + 2) le 2(3a + 4))

उत्तर

(a ge -dfrac{2}{3})

व्यायाम (PageIndex{67})

असमानता को ग्राफ़ करें (6x le 5(x+1) - 6)

व्यायाम (PageIndex{68})

लापता शब्दों की आपूर्ति करें। बाएं से दाएं ग्राफ को देखते समय, _______ ढलान वाली रेखाएं ऊपर उठती हैं, जबकि _________ ढलान वाली रेखाएं गिरती हैं।

उत्तर

सकारात्मक; नकारात्मक

व्यायाम (PageIndex{69})

सम्मिश्र भिन्न को सरल कीजिए: (dfrac{5+frac{1}{x}}{5-frac{1}{x}})

व्यायाम (PageIndex{70})

मूल चिह्न को हटाकर (sqrt{121x^4w^6z^8}) को सरल कीजिए।

उत्तर

(11x^2w^3z^4)


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वर्गमूलों के साथ व्यंजकों को सरल बनाना

याद रखें कि जब एक संख्या (n) को स्वयं से गुणा किया जाता है, तो हम (^<2>) और इसे "n स्क्वेर्ड" पढ़ें। उदाहरण के लिए, (<15>^<2>) को "15 वर्ग" के रूप में पढ़ा जाता है और 225 को 15 का वर्ग कहा जाता है, क्योंकि (<15>^<2>=225) ।

एक संख्या का वर्ग

अगर (^<2>=m) , तो (m) (n) का वर्ग है।

कभी-कभी हमें संख्याओं और उनके वर्गों के बीच के संबंध को उल्टा देखना होगा। क्योंकि 225, 15 का वर्ग है, हम यह भी कह सकते हैं कि 15, 225 का वर्गमूल है। एक संख्या जिसका वर्ग (m) है, कहलाती है वर्गमूल (एम) का।

किसी संख्या का वर्गमूल

अगर (^<2>=m) , तो (n) (m) का वर्गमूल है।

नोटिस (^<2>=225) भी, इसलिए (-15) भी 225 का वर्गमूल है। इसलिए, 15 और (-15) दोनों हैं 225 के वर्गमूल।

इसलिए, प्रत्येक धनात्मक संख्या के दो वर्गमूल होते हैं—एक धनात्मक और एक ऋणात्मक। क्या होगा यदि हम केवल एक सकारात्मक संख्या का सकारात्मक वर्गमूल चाहते हैं? NS कट्टरपंथी संकेत, (sqrt) , सकारात्मक वर्गमूल को दर्शाता है। धनात्मक वर्गमूल को प्रधान वर्गमूल भी कहा जाता है।

हम शून्य के वर्गमूल के लिए भी मूल चिह्न का उपयोग करते हैं। क्योंकि (<0>^<2>=0) , (sqrt<0>=0) । ध्यान दें कि शून्य का केवल एक वर्गमूल होता है।

स्क्वायर रूट नोटेशन

(sqrt) को "(m) का वर्गमूल" के रूप में पढ़ा जाता है।

(m) , (sqrt . का वर्गमूल) , वह धनात्मक संख्या है जिसका वर्ग (m) है।

चूँकि 15 225 का धनात्मक वर्गमूल है, इसलिए हम (sqrt<225>=15) लिखते हैं। वर्गमूलों की एक तालिका बनाने के लिए नीचे दिए गए चित्र को भरें जिसे आप इस ट्यूटोरियल में काम करते समय संदर्भित कर सकते हैं।

हम जानते हैं कि प्रत्येक धनात्मक संख्या के दो वर्गमूल होते हैं और मूल चिन्ह धनात्मक को दर्शाता है। हम (sqrt<225>=15) लिखते हैं। यदि हम किसी संख्या का ऋणात्मक वर्गमूल ज्ञात करना चाहते हैं, तो हम ऋणात्मक को मूल चिह्न के सामने रखते हैं। उदाहरण के लिए, ( ext<−>sqrt<225>=-15) ।


परफेक्ट स्क्वायर फैक्टर्स को हटाकर

“वर्गमूल को सरल बनाना” का अर्थ है इसे उसी मान के व्यंजक के रूप में फिर से लिखना, लेकिन वर्गमूल के अंदर संख्या या व्यंजक जितना संभव हो उतना छोटा या सरल।

हम यहां केवल संख्याओं को शामिल करने वाले वर्गमूल के लिए तकनीक का वर्णन करेंगे, लेकिन बीजीय व्यंजकों वाले वर्गमूलों को सरल बनाने में यह विधि सबसे महत्वपूर्ण है।

एक उदाहरण के रूप में, ध्यान दें कि हम निम्नलिखित कार्य कर सकते हैं:

इस प्रकार के समान मूल्य है। लेकिन, हम एक सरल रूप पर विचार करेंगे क्योंकि वर्गमूल में मात्रा एक छोटी संख्या है। यदि हम उपरोक्त उदाहरण को उल्टे क्रम में चरणों के साथ फिर से लिखते हैं, तो हम संभव होने पर वर्गमूल को सरल बनाने की रणनीति देख सकते हैं।

यदि संभव हो, तो दो संख्याओं के गुणनफल में 45 को अलग या गुणा करें, जिनमें से एक पूर्ण संख्या का वर्ग है। (याद रखें, हमने पहले ऐसी संख्याओं को “पूर्ण वर्ग” कहा था।)
दो वर्गमूलों को गुणा करने के लिए नियम का प्रयोग करें।
चूँकि वर्ग का वर्गमूल मूल संख्या होती है।
गुणन चिह्न छोड़ा जा सकता है।

चूँकि वर्गमूल में शेष संख्या, 5, स्पष्ट रूप से एक पूर्ण वर्ग और दूसरी संख्या के गुणनफल के रूप में नहीं लिखी जा सकती है, हमने यहाँ जितना संभव हो उतना सरलीकरण हासिल किया है।

वर्गमूल व्यंजकों को सरल बनाने के लिए इस रणनीति के लिए हमें एक या अधिक पूर्ण वर्गों वाले उत्पाद के रूप में संख्याओं को फिर से लिखा जा सकता है, यह निकालने के लिए एक रणनीति विकसित करने की आवश्यकता है - वास्तव में, हमें वर्गमूल में मूल संख्या को एक पूर्ण वर्गों का गुणनफल, और सबसे छोटा मान जो पूर्ण वर्ग नहीं है।


उदाहरण: वर्गमूल को सरल बनाने के लिए उत्पाद गुण का उपयोग कैसे करें

समाधान

पिछले उदाहरण में ध्यान दें कि (sqrt<50>) का सरलीकृत रूप (5sqrt<2>) है, जो एक पूर्णांक और एक वर्गमूल का गुणनफल है। हम हमेशा वर्गमूल के सामने पूर्णांक लिखते हैं।


9.3: वर्गमूल व्यंजकों का सरलीकरण

आरंभ करने से पहले, इस तैयारी प्रश्नोत्तरी में भाग लें।

  1. सरल करें: ⓐ 9 2 9 2 ⓑ ( 𕒽 ) 2 ( 𕒽 ) 2 ⓒ − 9 2 − 9 2 ।
    यदि आप इस समस्या से चूक गए हैं, तो [लिंक] की समीक्षा करें।
  2. 3.846 से निकटतम सौवां भाग।
    यदि आप इस समस्या से चूक गए हैं, तो [लिंक] की समीक्षा करें।
  3. प्रत्येक संख्या के लिए, पहचानें कि यह वास्तविक संख्या है या वास्तविक संख्या नहीं है:
    ⓐ − 100 − 100 ⓑ � � .
    यदि आप इस समस्या से चूक गए हैं, तो [लिंक] की समीक्षा करें।

वर्गमूलों के साथ व्यंजकों को सरल बनाएँ

कभी-कभी हमें संख्याओं और उनके वर्गों के बीच के संबंध को उल्टा देखना होगा। क्योंकि 225, 15 का वर्ग है, हम यह भी कह सकते हैं कि 15, 225 का वर्गमूल है। एक संख्या जिसका वर्ग m m है, कहलाती है वर्गमूल एम एम की।

अतः, प्रत्येक धनात्मक संख्या के दो वर्गमूल होते हैं-एक धनात्मक और एक ऋणात्मक। क्या होगा यदि हम केवल एक सकारात्मक संख्या का सकारात्मक वर्गमूल चाहते हैं? NS कट्टरपंथी संकेत, m m , धनात्मक वर्गमूल को दर्शाता है। धनात्मक वर्गमूल को प्रधान वर्गमूल भी कहा जाता है।

हम शून्य के वर्गमूल के लिए भी मूल चिह्न का उपयोग करते हैं। क्योंकि 0 2 = 0 0 2 = 0, 0 = 0 0 = 0। ध्यान दें कि शून्य का केवल एक वर्गमूल होता है।

चूँकि 15 225 का धनात्मक वर्गमूल है, इसलिए हम 225 = 15 225 = 15 लिखते हैं। वर्गमूलों की एक तालिका बनाने के लिए [लिंक] भरें जिसे आप इस अध्याय में काम करते समय संदर्भित कर सकते हैं।

वर्गमूल वाले व्यंजक को सरल बनाने के लिए संक्रियाओं के क्रम का उपयोग करते समय, हम मूलांक को समूहीकरण प्रतीक के रूप में मानते हैं।

अलग-अलग उत्तरों पर ध्यान दें ⓐ और ⓑ !

वर्गमूलों का अनुमान लगाएं

अभी तक हमने केवल पूर्ण वर्ग संख्याओं के वर्गमूल पर विचार किया है। अन्य संख्याओं के वर्गमूल पूर्ण संख्याएँ नहीं होते हैं। नीचे [लिंक] देखें।

संख्या वर्गमूल
4 4 4 = 2
5 5 5
6 6 6
7 7 7
8 8 8
9 9 9 = 3

4 और 9 के बीच की संख्याओं का वर्गमूल दो क्रमागत पूर्ण संख्याओं 2 और 3 के बीच होना चाहिए और वे पूर्ण संख्याएँ नहीं हैं। ऊपर दी गई तालिका के पैटर्न के आधार पर, हम कह सकते हैं कि 5 5 2 और 3 के बीच होना चाहिए।

60 के निकटतम पूर्ण वर्ग संख्याओं के बारे में सोचें। इन पूर्ण वर्गों और उनके वर्गमूलों की एक छोटी तालिका बनाएं।

लगातार दो पूर्ण वर्गों के बीच 60 का पता लगाएं।
60 60 उनके वर्गमूल के बीच है।

अनुमानित वर्गमूल

वर्गमूलों को अनुमानित करने के लिए गणितीय तरीके हैं, लेकिन आजकल अधिकांश लोग उन्हें खोजने के लिए कैलकुलेटर का उपयोग करते हैं। अपने कैलकुलेटर पर x x कुंजी खोजें। आप इस कुंजी का उपयोग वर्गमूलों का अनुमान लगाने के लिए करेंगे।

जब आप किसी ऐसी संख्या का वर्गमूल ज्ञात करने के लिए अपने कैलकुलेटर का उपयोग करते हैं जो पूर्ण वर्ग नहीं है, तो आपको जो उत्तर दिखाई देता है वह सटीक वर्गमूल नहीं है। यह एक अनुमान है, जो आपके कैलकुलेटर के डिस्प्ले पर दिखाए गए अंकों की संख्या के लिए सटीक है। सन्निकटन के लिए प्रतीक ≈ ≈ है और इसे ‘लगभग पढ़ा जाता है।’

मान लीजिए कि आपके कैलकुलेटर में 10 अंकों का डिस्प्ले है। आप देखेंगे कि

हम कैसे जानते हैं कि ये मान सन्निकटन हैं और सटीक मान नहीं हैं? देखें कि जब हम उनका वर्ग करते हैं तो क्या होता है:

उनके वर्ग 5 के करीब हैं, लेकिन बिल्कुल 5 के बराबर नहीं हैं।

कैलकुलेटर पर वर्गमूल कुंजी का उपयोग करके और फिर दो दशमलव स्थानों तक गोल करके, हम पा सकते हैं:


व्यंजक को सरल कीजिए और परिमेय घातांकों का प्रयोग करके उत्तर व्यक्त कीजिए। मान लें कि x और y निरूपित करते हैं... अधिक दिखाएँ व्यंजक को सरल बनाएँ और परिमेय घातांक का उपयोग करके उत्तर व्यक्त करें। मान लें कि x और y धनात्मक संख्याएँ दर्शाते हैं। ^3(वर्गमूल चिन्ह) 512x^2y^4 / 8x^5y *नोट: 3 का घात वर्गमूल चिन्ह के सामने है। पूरा अंश वर्गमूल चिन्ह के अंदर होता है। • कम दिखाएं

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समाधान

समाधान

पावर प्रॉपर्टी का भागफल याद रखें? इसने कहा कि हम अंश और हर को घात में अलग-अलग करके एक अंश को एक घात में बढ़ा सकते हैं।

हम भिन्न के वर्गमूल को सरल बनाने के लिए समान गुणधर्म का उपयोग कर सकते हैं। अंश और हर से सभी सामान्य कारकों को हटाने के बाद, यदि भिन्न पूर्ण वर्ग नहीं है, तो हम अंश और हर को अलग-अलग सरल करते हैं।

वर्गमूलों की भागफल संपत्ति

अगर , बी गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं और (b e 0) , तो