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५.५: (mathbb{Z}_{b}) में विभाजन - गणित


अगला परिणाम गेम चेंजर है! यह हमें बताता है कि एक अद्वितीय तत्व है (a^{-1}) जैसे कि (aa^{-1} = _{b} 1) अगर और केवल अगर (a) कम में है अवशेषों का सेट (मॉड्यूलो (बी))। इस प्रकार अवशेषों के कम सेट में विभाजन अच्छी तरह से परिभाषित है मॉड्यूलो (बी)। एक वलय जोड़ और इसके व्युत्क्रम घटाव प्लस गुणा के साथ एक संरचना है, लेकिन जहां गुणन का व्युत्क्रम नहीं हो सकता है। इन बीजीय रचना का अधिक विस्तृत विवरण खंड . में दिया गया है ??. संख्याएँ (1) और (-1) हमेशा अवशेष मॉड्यूलो (b) के कम सेट में होती हैं। इस समुच्चय को कभी-कभी इकाइयों का समुच्चय कहा जाता है (देखें परिभाषाsee ??) का (mathbb{Z}_{b})।

प्रस्ताव 5.16

चलो (mathbb{R}) अवशेष मॉड्यूलो (b) का एक कम सेट हो। फिर

  1. प्रत्येक (a in mathbb{R}) के लिए (mathbb{R}) में एक अद्वितीय (a') होता है जैसे कि (a′a = _{b} aa′ = _{बी} 1)
  2. प्रत्येक (a otin mathbb{R}) के लिए, कोई (x in mathbb{Z}_{b}) मौजूद नहीं है जैसे कि (ax = _{b} 1)
  3. चलो (mathbb{R} = {x_{i}}_{i=1}^{varphi (b)}), फिर भी (mathbb{R} = {x-1 } _{i=1}^{varphi (b)})।
प्रमाण

कथन १: एक समाधान का अस्तित्व Be zout's Lemma से तुरंत अनुसरण करता है, अर्थात्(a′ = _{b} x) (x) के लिए (ax+by = 1) में हल करता है। यह समाधान (mathbb{R}) में होना चाहिए, क्योंकि (a), बदले में, (a′x + by = 1) का समाधान है और इस प्रकार Be ́zout's Lemma का अर्थ है कि ( जीसीडी (ए', बी) = 1)। मान लीजिए कि हमारे पास दो समाधान (ax = _{b} 1) और (ay = _{b} 1) हैं, तो इन समीकरणों के अंतर के लिए रद्दीकरण प्रमेय 2.7 को लागू करने से विशिष्टता का अनुसरण होता है।

कथन २: परिकल्पना द्वारा, (gcd (a,b) > 1)। हमारे पास यह है कि (ax = _{b} 1) (ax+by = 1) के बराबर है, जो Be ́zout's Lemma का खंडन करता है।

कथन ३: यह लेम्मा 5.3 के समान है। (1) द्वारा, हम जानते हैं कि सभी प्रतिलोम (R) में हैं। अतः यदि कथन असत्य है, तो (R) के दो अवयव होने चाहिए। इसलिए यदि कथन असत्य है, तो (R) के दो अवयव समान व्युत्क्रम के साथ होने चाहिए: (ax = _{b} cx)। रद्द करने से यह असंभव है।

लेम्मा 5.17

मान लीजिए (p) अभाज्य है। तब (a^2 = _{p} 1) अगर और केवल अगर (a = _{p} pm 1)

प्रमाण

हमारे पास है

[a^2 = _{p} 1 Leftrightarrow a^{2}-1 = _{p} (a+1)(a-1) = _{p} 0 Leftrightarrow p | (a+1)(a-1) onumber]

क्योंकि (p) प्राइम है, कोरोलरी 2.12 कहता है कि या तो (p | a+1) (और इसलिए (a = _{p} -1)) या (p | a-1) ( और इसलिए (a = _{p} +1))।

शायद, आश्चर्यजनक रूप से, यह अंतिम लेम्मा गलत है यदि (p) अभाज्य नहीं है। उदाहरण के लिए, (4^2 = _{15} 1), लेकिन (4 e _{15} pm 1)।

प्रमेय 5.18 (विल्सन की प्रमेय)

अगर (p) प्राइम में (mathbb{Z}), तो ((p-1)! = _{p} -1)। यदि (b) मिश्रित है, तो ((b-1)! e _{b} -1)

प्रमाण

यह (p = 2) के लिए सत्य है। यदि (p > 2), तो प्रस्ताव 5.16(3) और लेम्मा 5.17 का अर्थ है कि उत्पाद में प्रत्येक कारक (a_{i}) ((p-1)!) के अलावा (-1 ) या (1) का एक अद्वितीय प्रतिलोम (a_{i}') स्वयं से भिन्न है। गुणनखंड (a_{i}') सभी गुणनखंडों (2) से (p-2) तक ठीक एक बार चलते हैं। इस प्रकार उत्पाद में, हम प्रत्येक (a_{i}) को (pm 1) से अलग इसके व्युत्क्रम के साथ जोड़ सकते हैं। यह देता है

[(पी-1)! = _{p} (+1)(-1) prod a_{i}a_{i}' = _{p} -1 onumber]

दूसरा भाग आसान है। यदि (b) मिश्रित है, तो कम से कम अवशेष (a) और (b) (1) से अधिक हैं ताकि (ad = _{b} 0)। अब या तो हम (a) और (b) को अलग-अलग चुन सकते हैं और फिर ((b-1)!) में उत्पाद (ad) होता है, और इस तरह यह शून्य मॉड (b) के बराबर होता है। या फिर यह असंभव है और (b = a^2)। लेकिन फिर भी (gcd ((b-1)!, b) ge a)। Be zout द्वारा, हमारे पास ((b-1)!) mod (b) होना चाहिए (a) का गुणज होना चाहिए।

विल्सन के प्रमेय का उपयोग किसी संख्या (n) की प्रारंभिकता का परीक्षण करने के लिए किया जा सकता है। हालांकि, इसमें (n) गुणा की आवश्यकता होती है, जो व्यवहार में (n) को (sqrt{n}) से कम सभी संख्याओं से विभाजित करने की कोशिश करने से अधिक महंगा है। हालाँकि, ध्यान दें कि यदि आप (1) और (N) के बीच सभी अभाज्य संख्याओं की सूची की गणना करना चाहते हैं, तो विल्सन के प्रमेय का अधिक कुशलता से उपयोग किया जा सकता है। गणना करने के बाद ((k-1)! = _{k}) यह निर्धारित करने के लिए कि क्या (k) अभाज्य है, यह निर्धारित करने के लिए केवल (1) गुणा और (1) विभाजन लेता है कि क्या (k +1) प्राइम है।

यहाँ वह टेक-अवे है जो अध्याय . के लिए महत्वपूर्ण होगा ??. अधिक विशेष रूप से, हमारे पास निम्नलिखित परिणाम हैं।

परिणाम 5.19 5.

मान लीजिए (p) अभाज्य है।

प्रत्येक (a in mathbb{Z}_{p}) के लिए एक अद्वितीय (a′ = _{p} -a) होता है जैसे कि (a+a′ = _{p} 0 )

प्रत्येक (a in mathbb{Z}_{p}) और (a e 0) के लिए एक अद्वितीय (a′ = a^{-1}) होता है ताकि (aa = _{पी} 1)।

जोड़ और गुणा (mathbb{Z}_{b}) में अच्छी तरह से परिभाषित हैं (देखें अभ्यास 5.1 और 5.2)। इस प्रकार जब (p) अभाज्य होता है, तो हम (mathbb{Z}_{p}) में जोड़, गुणा, घटा और भाग कर सकते हैं। अध्याय के शब्दों में ??, जब (p) एक अभाज्य है, तब (mathbb{Z}_{p}) एक क्षेत्र है। यह एक दिलचस्प तथ्य है कि यह एक समग्र संख्या (b) के लिए सही नहीं है। प्रस्ताव ५.१६ के अनुसार, गुणन के व्युत्क्रमणीय होने के लिए हमें अवशेषों के कम सेट की आवश्यकता है। उसी समय, सेट को गुणन के तहत बंद करने के लिए, हमें सभी (mathbb{Z}_{b}) ((1+1+dots) के बारे में सोचें) की आवश्यकता है। इस प्रकार (mathbb{Z}_{b}) में संक्रिया जोड़ और गुणा एक दूसरे के साथ तभी सहयोग करते हैं जब (b) अभाज्य हो।


भागफल रिंग में तत्वों की संख्या $mathbb Z_5[x]$ और $mathbb Z_[x]$ से अधिक है

a) भागफल वलय$displaystyle frac $ में कितने तत्व हैं?

मैं देख सकता हूं कि बहुपद, $displaystyle p(x)= x^2+1=(x-2)(x-3)$ पूर्णांक मॉड्यूलो $5$ के क्षेत्र में कम करने योग्य है, लेकिन आगे नहीं बढ़ सकता।

जहां बहुपद पूर्णांकों के क्षेत्र में अपरिवर्तनीय था $11$।

मैंने कुछ समाधानों पर एक नज़र डाली जो कहते हैं कि इस भागफल रिंग में तत्व $ax+b$ प्रकार के होंगे और फिर हमारे पास दोनों में से प्रत्येक के लिए $11$ विकल्प होंगे और परिणामस्वरूप $121$ तत्व होंगे।

मैं इस बात का पालन नहीं कर सका कि तत्व $ax+b$ फॉर्म के क्यों होंगे। कृपया समझाएँ।


गणित विभाग, भारतीय प्रौद्योगिकी संस्थान रुड़की, रुड़की, २४७६६७, भारत

*संबंधित लेखक: अमित शर्मा

प्राप्त अक्टूबर 2017 संशोधित मार्च 2018 प्रकाशित सितंबर 2018

इस पत्र में, हम $R = mathbb से अधिक तिरछी बहुपद वलय का उपयोग करके तिरछा-चक्रीय कोड के एक वर्ग का अध्ययन करते हैं_4+umathbb_4u^2 = 1$, एक ऑटोमोर्फिज्म $θ$ और एक व्युत्पत्ति $δ_θ$ के साथ। हम व्युत्पत्ति के साथ तिरछा-चक्रीय कोड के लिए चक्रीय कोड की धारणा को सामान्य करते हैं, और ऐसे कोड को $δ_θ$-चक्रीय कोड कहते हैं। तिरछी बहुपद वलय के कुछ गुण $R[x, , <δ_θ>]$ प्रस्तुत किए गए हैं। एक $δ_θ$-चक्रीय कोड बाईं ओर $R[x, , <δ_θ>]$-$frac . का सबमॉड्यूल<δ_θ>]>$. एक मुक्त $δ_θ$ के समता-जांच मैट्रिक्स का रूप प्रस्तुत किया गया है - यहां तक ​​कि लंबाई $n$ के चक्रीय कोड भी प्रस्तुत किए गए हैं। इन कोडों को $δ_θ$-चक्रीय कोड को $R$ से दोगुना करने के लिए सामान्यीकृत किया जाता है। हमने $mathbb . से अधिक के कुछ नए अच्छे कोड प्राप्त किए हैं_4$ ग्रे छवियों और इन कोड के अवशेष कोड के माध्यम से। प्राप्त किए गए नए कोड $mathbb . के डेटाबेस में रिपोर्ट किए गए और जोड़े गए हैं_4$-कोड [2]।

सन्दर्भ:

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$सी$ $ फी (सी) $ $Res(सी)$ $सी^*$
जनरेटर का सेट कोड $(एन, 4^2^, डी_एल)$ $(एन, 4^2^, डी_एल)$ $(एन, 4^2^, डी_एल)$
$$ $C_1$ $<(10, 4^6, 2)^<>>$ $<(5, 4^42^1, 2)^<*>>$ $mathbf<(10, 4^82^2, 2)>^<**>$
$$ $C_2$ $<(20, 4^6, 8)>$ $(10, 4^6, 4)^*$ $(20, 4^<12>, 4)^*$
$$ $C_3$ $<(20, 4^6, 6)>$ $(10, 4^5, 6)^*$ $(20, 4^<10>, 6)$
$बाएं< <बाएं(एक्स दाएं),एक्स बाएं (एक्स दाएं), बाएं (एक्स दाएं),बाएं (एक्स दाएं)> दाएं>$ $C_4$ $<(24, 4^8, 6)>$ $(12, 4^8, 4)^*$ $(24, 4^<16>, 4)^*$
$बाएं< <बाएं(एक्स दाएं),एक्स बाएं (एक्स दाएं), बाएं (एक्स दाएं),बाएं (एक्स दाएं)> दाएं>$ $C_5$ $<(28, 4^8, 6)>$ $(14, 4^8, 5)^*$ $(28, 4^<16>, 5)^*$
$बाएं< <बाएं(एक्स दाएं),एक्स बाएं (एक्स दाएं), बाएं (एक्स दाएं),बाएं (एक्स दाएं)> दाएं>$ $C_6$ $<(30, 4^8, 6)>$ $(15, 4^8, 6)^*$ $(30, 4^<16>, 6)$
$बाएं< <बाएं(एक्स दाएं),एक्स बाएं (एक्स दाएं), बाएं (एक्स दाएं),बाएं (एक्स दाएं)> दाएं>$ $C_7$ $<(36, 4^8, 8)>$ $(18, 4^8, 8)^*$ $(36, 4^<16>, 8)^*$
$सी$ $ फी (सी) $ $Res(सी)$ $सी^*$
जनरेटर का सेट कोड $(एन, 4^2^, डी_एल)$ $(एन, 4^2^, डी_एल)$ $(एन, 4^2^, डी_एल)$
$$ $C_1$ $<(10, 4^6, 2)^<>>$ $<(5, 4^42^1, 2)^<*>>$ $mathbf<(10, 4^82^2, 2)>^<**>$
$$ $C_2$ $<(20, 4^6, 8)>$ $(10, 4^6, 4)^*$ $(20, 4^<12>, 4)^*$
$$ $C_3$ $<(20, 4^6, 6)>$ $(10, 4^5, 6)^*$ $(20, 4^<10>, 6)$
$बाएं< <बाएं(एक्स दाएं),एक्स बाएं (एक्स दाएं), बाएं (एक्स दाएं),बाएं (एक्स दाएं)> दाएं>$ $C_4$ $<(24, 4^8, 6)>$ $(12, 4^8, 4)^*$ $(24, 4^<16>, 4)^*$
$बाएं< <बाएं(एक्स दाएं),एक्स बाएं (एक्स दाएं), बाएं (एक्स दाएं),बाएं (एक्स दाएं)> दाएं>$ $C_5$ $<(28, 4^8, 6)>$ $(14, 4^8, 5)^*$ $(28, 4^<16>, 5)^*$
$बाएं< <बाएं(एक्स दाएं),एक्स बाएं (एक्स दाएं), बाएं (एक्स दाएं),बाएं (एक्स दाएं)> दाएं>$ $C_6$ $<(30, 4^8, 6)>$ $(15, 4^8, 6)^*$ $(30, 4^<16>, 6)$
$बाएं< <बाएं(एक्स दाएं),एक्स बाएं (एक्स दाएं), बाएं (एक्स दाएं),बाएं (एक्स दाएं)> दाएं>$ $C_7$ $<(36, 4^8, 8)>$ $(18, 4^8, 8)^*$ $(36, 4^<16>, 8)^*$
$सी$ $ फी (सी) $ $Res(सी)$ $सी^*$
जनरेटर का सेट नाम $(एन, एम, डी_एल)$ $(एन, 4^2^, डी_एल)$ $(एन, 4^2^, डी_एल)$
$$ $A_1$ $<(10,128, 2)^<>>$ $<(5, 4^32^1, 2)^<*>>$ $(10, 4^62^2, 2)$
$$ $A_2$ $<(12, 4096, 2)^<>>$ $<(6, 4^52^1, 2)^<*>>$ $mathbf<(12, 4^<10>2^2, 2)>^<**>$
$$ $A_3$ $<(14, 65536, 2)^<>>$ $<(7, 4^62^1, 2)^<*>>$ $<(14, 4^<12>2^2, 2)>$
$$ $A_3$ $<(16, 65536, 4)^<>>$ $mathbf<(8, 4^7, 2)^<**>>$ $mathbf<(16, 4^<14>, 2)>^<**>$
$सी$ $ फी (सी) $ $Res(सी)$ $सी^*$
जनरेटर का सेट नाम $(एन, एम, डी_एल)$ $(एन, 4^2^, डी_एल)$ $(एन, 4^2^, डी_एल)$
$$ $A_1$ $<(10,128, 2)^<>>$ $<(5, 4^32^1, 2)^<*>>$ $(10, 4^62^2, 2)$
$$ $A_2$ $<(12, 4096, 2)^<>>$ $<(6, 4^52^1, 2)^<*>>$ $mathbf<(12, 4^<10>2^2, 2)>^<**>$
$$ $A_3$ $<(14, 65536, 2)^<>>$ $<(7, 4^62^1, 2)^<*>>$ $<(14, 4^<12>2^2, 2)>$
$$ $A_3$ $<(16, 65536, 4)^<>>$ $mathbf<(8, 4^7, 2)^<**>>$ $mathbf<(16, 4^<14>, 2)>^<**>$

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अगले निम्न पूर्ण संख्या (पूर्णांक) में एक संख्या परिवर्तन करने के लिए, संख्या प्राप्त करें मंज़िल मूल्य। 8.76 का न्यूनतम मान 8 है क्योंकि यह अगली निचली पूर्ण संख्या है। 6.17 की ऋणात्मक संख्या के लिए, इसका तल -7 है क्योंकि यह अगली निचली पूर्ण संख्या है।

किसी संख्या का भिन्नात्मक भाग किसके द्वारा हटा दिया जाता है छोटा यह। यदि किसी संख्या का मान 54.234 है तो उसका छोटा मान 54 है। एक ऋणात्मक संख्या के लिए ट्रंकेशन उसी तरह काम करता है। -34.913 का छोटा मान -34 है।


एबेलियन समूहों के सबसे सरल उदाहरण हैं चक्रीय समूह, जो एक ही तत्व द्वारा उत्पन्न समूह हैं और इस प्रकार Z n mathbb . के समरूपी हैं_n Z n याद कीजिए कि Z n mathbb_n Z n के रूप में परिभाषित किया गया है

हालांकि सभी चक्रीय समूह एबेलियन हैं, सभी एबेलियन समूह चक्रीय नहीं हैं। उदाहरण के लिए, क्लेन चार समूह Z 2 × Z 2 mathbb_2 बार mathbb_2 Z 2 × Z 2 आबेलियन है लेकिन चक्रीय नहीं है।

इसके विपरीत, आव्यूह गुणन के समूह नियम के साथ इनवर्टिबल मेट्रिसेस का समूह एक एबेलियन समूह नहीं बनाता है (यह है नॉनबेलियन), क्योंकि यह आम तौर पर सच नहीं है कि एम एन = एन एम एमएन = एनएम एम एन = एन एम मैट्रिक्स एम, एन एम, एन एम, एन के लिए। सममित समूह S n S_n S n n ≥ 3 n geq 3 n ≥ 3 के लिए भी गैर-विषमीय है।

रिंग्स भी एबेलियन समूहों के उदाहरण हैं, उनके योगात्मक संचालन के संबंध में। इसके अलावा, रिंग की इकाइयाँ इसके गुणनात्मक संचालन के संबंध में एक आबेलियन समूह बनाती हैं। उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्याएँ योगात्मक आबेलियन समूह बनाती हैं, और अशून्य वास्तविक संख्याएँ (जिसे R mathbb दर्शाया जाता है)^ <*>R ∗ ) एक गुणक आबेलियन समूह बनाते हैं।


MAT 112 प्राचीन और समकालीन गणित

परिभाषा 1.3.10 में हमने गुणन को पुनरावृत्त योग के रूप में परिभाषित किया था। धनात्मक पूर्णांकों के लिए हमने बार-बार घटाव के रूप में भाग का संचालन किया। हम पहले इस मामले पर विचार करते हैं और फिर नकारात्मक पूर्णांकों के लिए एक विभाजन एल्गोरिथ्म देकर सभी पूर्णांकों के लिए एल्गोरिथ्म को सामान्यीकृत करते हैं।

डिवीज़न एल्गोरिथम पर चित्र 3.2.1 में वीडियो देखें और फिर इस खंड के शेष भाग में विस्तृत विवरण पढ़ें।

उपखंड 3.2.1 धनात्मक पूर्णांकों के लिए विभाजन एल्गोरिथ्म

विभाजन एल्गोरिथ्म के हमारे पहले संस्करण में हम एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक (a) से शुरू करते हैं और एक प्राकृतिक संख्या (b) घटाते रहते हैं जब तक कि हम एक संख्या के साथ समाप्त नहीं हो जाते जो (b) से कम और अधिक है से या उसके बराबर (0 ext<.>) हम उस संख्या को कॉल करते हैं जिसे हम (b) को (a) से (a) के विभाजन के (b) से घटा सकते हैं। text<.>) शेष संख्या को (a) द्वारा (b ext<.>) के भाग का कहा जाता है

हम आम तौर पर भागफल के लिए चर (q) और शेष के लिए चर (r) का उपयोग करते हैं। हमारे पास है

विभाजन एल्गोरिथ्म भागफल के साथ-साथ शेष की गणना करता है। एल्गोरिथम ३.२.२ और एल्गोरिथम ३.२.१० में हम इसे अल्पविराम द्वारा अलग किए गए दो मान देकर इंगित करते हैं वापसी.

यदि (alt b) तो हम (b) को (a) से घटा नहीं सकते हैं और (b ext<.>) से अधिक या उसके बराबर संख्या प्राप्त कर सकते हैं, इस प्रकार, इस मामले में , भागफल 0 है और शेषफल (a) ही है। हम इस मामले को एल्गोरिथम के चरण 1 में पकड़ते हैं।

एल्गोरिथम 3.2.2। सकारात्मक संख्याओं के लिए विभाजन।

एक प्राकृत संख्या (a) और एक प्राकृत संख्या (b)

दो पूर्णांक (q) और (r) जैसे कि (a=(qcdot b)+r) और (0 leq rlt b)

हम पहले एक उदाहरण पर विचार करते हैं जिसमें एल्गोरिथम दर्ज करने से पहले समाप्त हो जाता है दोहराओ जब तक कुंडली।

उदाहरण 3.2.3। एल्गोरिथम 3.2.2 के साथ (4) को (7) से विभाजित करना।

हम इनपुट मानों (a=4) और (b=7 ext<.>) के लिए एल्गोरिथम 3.2.2 के आउटपुट मान पाते हैं

जैसा कि (a=4) और (b=7) कथन (a lt b) सत्य है। तो हम बाद में निर्देश का पालन करते हैं फिर और (q) और (r ext<,>) अर्थात् 0 और 4 के मान लौटाएं।

इस प्रकार (4) के (7) से विभाजन का भागफल (0) है और शेष (4 ext<.>) है

विभाजन एल्गोरिथ्म के साथ हम एक भागफल और शेषफल पाते हैं। इस उदाहरण में हम के माध्यम से जाते हैं दोहराओ जब तक कई बार लूप।

उदाहरण 3.2.4। एल्गोरिथम 3.2.2 के साथ (30) को (8) से विभाजित करना।

हमें इनपुट मानों (a=30) और (b=8 ext<.>) के लिए एल्गोरिथम 3.2.2 के आउटपुट मान मिलते हैं।

1. जैसा कि (a=30) और (b=8) कथन (a lt b) गलत है। तो हम चरण 2 के साथ जारी रखते हैं।

5. जैसा (r=22) और (q=1) कथन (r lt q) गलत है। तो हम चरण 4 के साथ जारी रखते हैं

5. जैसा (r=14) और (q=8) कथन (r lt q) गलत है। तो हम चरण 4 के साथ जारी रखते हैं

जैसा कि (r=6) और (q=8) कथन (rlt q) सत्य है। तो हम चरण 6 के साथ जारी रखते हैं।

हम भागफल (q=3) और शेष (r=6) लौटाते हैं

इस प्रकार (30) के (8) से विभाजन का भागफल (3) है और शेष (6 ext<.>) है

एल्गोरिथम 3.2.2 के निर्देशों के माध्यम से काम करते समय किसी तालिका में लूप के प्रत्येक पुनरावृत्ति में सभी प्रासंगिक चर के मान देना अधिक सुविधाजनक हो सकता है। हम उदाहरण 3.2.4 पर फिर से विचार करते हैं, कार्य को अधिक संक्षिप्त रूप में प्रस्तुत करते हैं।

उदाहरण 3.2.5। (30) को (8) से विभाजित करने पर एल्गोरिथम 3.2.2 छोटा।

हमें इनपुट मानों (a=30) और (b=8 ext<.>) के लिए एल्गोरिथम 3.2.2 के आउटपुट मान मिलते हैं।

तालिका की प्रत्येक पंक्ति में हम लूप के पुनरावृत्ति के लिए सभी चर के मान लिखते हैं। यदि किसी चर का कोई मान नहीं है तो हम प्रविष्टि को खाली छोड़ देते हैं। इसी तरह आउटपुट के लिए हम उन सभी वेरिएबल्स की प्रविष्टियां छोड़ते हैं जो आउटपुट का हिस्सा नहीं हैं।

कदम (ए) (बी) (क्यू) (आर)
इनपुट (30) (8) () ()
1.,2.,3. (30) (8) (0) (30)
4.,5. (30) (8) (0+1=1) (30-8=22)
4.,5. (30) (8) (1+1=2) (22-8=14)
4.,5. (30) (8) (1+1=3) (14-8=6)
उत्पादन () () (3) (6)

तो आउटपुट (q=3) और (r=6) है

उदाहरण 3.2.6 में आप देख सकते हैं कि जब आप विभाजन एल्गोरिथम के चरणों के माध्यम से अपने तरीके से क्लिक करते हैं तो चरों के मान कैसे बदलते हैं।

उदाहरण 3.2.6। डिवीजन एल्गोरिदम इंटरैक्टिव।

चेकपॉइंट 3.2.7 में हम इसी तरह से एल्गोरिथम 3.2.2 में लूप को अनियंत्रित करते हैं। भागफल और शेषफल ज्ञात करने के लिए निर्देशों का पालन करें।

चेकपॉइंट 3.2.7। भाग एल्गोरिथम के साथ भागफल और शेषफल ज्ञात कीजिए।

कभी-कभी किसी को भागफल और शेष दोनों में कोई दिलचस्पी नहीं होती है। ऐसे मामले में कोई एक सरलीकृत एल्गोरिथम का उपयोग कर सकता है। चेकपॉइंट 3.2.8 में एल्गोरिथम का आउटपुट निर्धारित करें।

चेकपॉइंट 3.2.8। विभाजन एल्गोरिथ्म का एक और प्रकार।

यदि (a>0 ext<,>) तो एल्गोरिथम 3.2.2 (a) के भागफल और शेष भाग को (b ext<.>) से लौटाता है यदि हम एल्गोरिथम 3.2.2 का उपयोग करने का प्रयास करते हैं जब (a) ऋणात्मक होता है, एल्गोरिथम हमेशा (0,a) लौटाता है जो (r=alt 0 ext< के बाद से आउटपुट के लिए शर्त (0le r) को संतुष्ट नहीं करता है। >) तो हमें मामले के लिए एक अलग एल्गोरिथ्म की आवश्यकता है (alt 0 ext<.>)

उपखंड 3.2.2 नकारात्मक पूर्णांकों के लिए विभाजन एल्गोरिथ्म

जब (alt 0 ext<,>) हम अभी भी (q) और (r) को खोजना चाहते हैं जैसे (a=(qcdot b)+r) (0 le rlt b ext<.>) हमें एक धनात्मक शेषफल मिलता है जब (a) (b ext<.>) को बार-बार जोड़ने से ऋणात्मक होता है यह बार-बार जोड़ने के समान है (-b ext<.>) मान लें कि (s) (b) को (a) में जोड़ने की संख्या है (0 le r lt b ext<. >) (s) (b) से (a) जोड़ने के बाद हमारे पास है

यदि हम (q:=-s ext<,>) देते हैं तो हमें (r=a-(qcdot b)) मिलता है (इसकी तुलना हम जो चाहते थे उससे करें)। हम रुक जाते हैं जब (0le rlt b ext<.>) हम बार-बार (b) को ऋणात्मक संख्याओं में तब तक जोड़ते हैं जब तक (0le rlt b) सत्य नहीं हो जाता। चूँकि एक ऋणात्मक संख्या जमा (b) हमेशा (b) से कम होती है और हम प्रत्येक जोड़ के बाद (r) के मान की जांच करते हैं, यह जांचने के लिए पर्याप्त है कि (0le r ext<. >)

उदाहरण 3.2.9। (-33) को (9) से भाग देना।

हम (-33) को (9 ext<.>) से विभाजित करके ऋणात्मक संख्या को विभाजित करने की प्रक्रिया का वर्णन करते हैं हम बार-बार (9) जोड़ते हैं जब तक कि हमें (0) से ( 9-1=8 ext<.>) वह संख्या शेष है। हम जितनी बार (9) जोड़ते हैं उसका ऋणात्मक भागफल होता है।

(0le 3lt 9) के रूप में हम कर चुके हैं। शेष है (3 ext<.>) हमने चार बार (9) जोड़ा है, इसलिए भागफल है (-4 ext<.>) हमारे पास है

अब हम इस प्रक्रिया को एक एल्गोरिथम में औपचारिक रूप देते हैं।

एल्गोरिदम 3.2.10। ऋणात्मक पूर्णांकों के लिए विभाजन।

एक ऋणात्मक पूर्णांक (a) और एक प्राकृत संख्या (b)

दो पूर्णांक (q) और (r) जैसे कि (a=(qcdot b)+r) और (0 leq rlt b)


डिवीजन वाक्य कैसे लिखें

एक विभाजन वाक्य लिखने के लिए निम्नलिखित चरणों का उपयोग करें:

  1. पहले साझा या विभाजित की जा रही कुल संख्या को लिखें।
  2. इसके बाद विभाजन चिन्ह write लिखें।
  3. विभाजन चिह्न के बाद, उन समूहों की संख्या लिखें जिनमें राशि साझा की जा रही है।
  4. इसके बाद बराबर का चिह्न लिखिए, =।
  5. अंत में, वस्तुओं को साझा करने के बाद प्रत्येक समूह में संख्या लिखें।

जब तक हम पूर्ण संख्याओं का प्रयोग करते हैं, विभाजन वाक्य में सबसे बड़ी संख्या पहले आएगी।

यहाँ एक शब्द समस्या के लिए विभाजन वाक्य लिखने का एक उदाहरण दिया गया है।

दस कंचे 5 बोरी में डाले जाते हैं।

पहला कदम साझा की जा रही कुल संख्या को लिखना है, जो कि 10 है।

दूसरा चरण एक विभाजन चिह्न, लिखना है।

तीसरा चरण समूहों की मात्रा लिखना है। यह उन थैलों की संख्या है जिनमें मार्बल डाला जाएगा। हमारे पास 5.

चौथा चरण है दो बराबर चिह्न लिखें, =।

पांचवां चरण प्रत्येक समूह में संख्या लिखना है। कंचों को ५ बराबर समूहों में रखकर हम देख सकते हैं कि प्रत्येक समूह में ५ हैं।

विभाजन वाक्य 10 5 = 2 है।

इस वाक्य का अर्थ है कि १० को ५ समान समूहों में बाँटने से हमें प्रत्येक समूह में २ प्राप्त होते हैं।

शब्द समस्या के लिए विभाजन वाक्य लिखने का एक और उदाहरण यहां दिया गया है।

4 बच्चों के बीच 12 सेब बांटे जाते हैं।

याद रखें कि विभाजन वाक्य में सबसे बड़ी संख्या पहले आएगी।

हम 12 वस्तुओं को 4 लोगों के बीच साझा कर रहे हैं।

प्रत्येक बच्चे को 3 मिलते हैं और इसलिए, विभाजन के लिए हमारा उत्तर 3 है।

१२ ४ = ३ का अर्थ है कि ४ बच्चों के बीच बांटे गए १२ सेब प्रत्येक बच्चे को ३ सेब देते हैं।

यहाँ एक विभाजन लिखने का एक उदाहरण है।

16 पक्षियों को 4 के समूह में रखा गया है।

सबसे बड़ी संख्या कुल है। हमारे पास 16 पक्षी हैं इसलिए हम इसे पहले लिखते हैं।

विभाजन चिह्न के बाद की संख्या समूहों की संख्या है।

हमारे पास 16 4 है, जिसका मतलब है कि 16 पक्षियों को 4 बराबर समूहों में बांटा गया है।

हम बराबर चिह्न के बाद प्रत्येक समूह में कितने पक्षियों को अपना उत्तर प्राप्त करने के लिए गिनते हैं।

प्रत्येक समूह में 4 पक्षी हैं और इसलिए, 16 4 = 4।

अब हमारे पाठ का प्रयास करें शेष के बिना लघु विभाजन जहाँ हम संख्याओं को विभाजित करने के लिए लघु भाग विधि का उपयोग करना सीखते हैं।


सरल विभाजन शब्द समस्या

एक विभाजन शब्द समस्या को हल करने के लिए, हम निम्नलिखित चरणों का उपयोग कर सकते हैं:

  1. प्रश्न में दी गई संख्याओं को पहचानिए।
  2. पहचानें कि कौन सी संख्या कुल मात्रा है।
  3. पहचानें कि हम कितने समूहों के बीच साझा कर रहे हैं या प्रत्येक समूह में कितने जाने की आवश्यकता है।
  4. प्रत्येक समूह में राशि ज्ञात करने के लिए कुल को समूहों की संख्या से विभाजित करें।
  5. या यह पता लगाने के लिए कि प्रत्येक समूह में कितने समूह बनाए जा सकते हैं, कुल को विभाजित करें।

इस उदाहरण में, ‘मेरे पास १० मिठाइयाँ हैं समान रूप से साझा करें 5 बच्चों के बीच। कितनी मिठाइयाँ करते हैं प्रत्येक प्राप्त करें?’

हम यह पता लगाने की कोशिश कर रहे हैं कि प्रत्येक बच्चे को कितनी मिठाइयाँ मिलती हैं, इसलिए हम जानना चाहते हैं कि प्रत्येक समूह में कितनी मिठाइयाँ होंगी।

हम पहले कुल की पहचान करते हैं, जो कि 10 मिठाइयाँ हैं।

अब हम पहचानते हैं कि हमारे पास कितने समूह हैं, जो 5 है। हम 5 बच्चों के बीच समान रूप से साझा कर रहे हैं।

हम कुल राशि को समूहों की संख्या से विभाजित करते हैं।

हम 5 लोगों के बीच 10 मिठाइयां बांट रहे हैं।

१० ५ = २ और इसलिए, प्रत्येक बच्चे को २-२ मिठाइयाँ मिलती हैं।

विभाजन की शब्द समस्याओं को पढ़ाते समय, हम 10 मिठाइयाँ बना सकते हैं और उनके चारों ओर वृत्त बनाकर समान रूप से समूहित कर सकते हैं ताकि इसकी कल्पना की जा सके। हम 10 काउंटर भी प्राप्त कर सकते हैं और उन्हें समान रूप से साझा कर सकते हैं, एक बार में एक।

हम इस उदाहरण में देख सकते हैं कि हमारे पास के कीवर्ड थे समान रूप से साझा करें तथा प्रत्येक, जो हमें एक सुराग दे सकता है कि हमारे पास एक विभाजन है।

भाग हमें यह भी बताता है कि 5 कितनी बार 10 में जाता है।

इस अगले उदाहरण में, ‘I में 80 मैच हैं। मैं प्रत्येक पैकेट में 8 डालूँगा। मैं कोई पैकेट कैसे भरूंगा?’

हम देखना चाहते हैं कि हम कितने पैकेट भरेंगे। हम देखना चाहते हैं कि हम कितने समूह बनाएंगे।

हम पहले मैचों की कुल संख्या की पहचान करते हैं, जो कि 80 है।

फिर हम प्रत्येक पैकेट में संख्या की पहचान करते हैं, जो कि 8 है।

पैकेटों की कुल संख्या ज्ञात करने के लिए, हम भाग देंगे।

80 ÷ 8 = 10 और इस प्रकार, हम 10 पैकेट बना सकते हैं।

हम इसे इस तरह से सोच सकते हैं कि 80 मैचों में 8 कितनी बार जाता है या 80 मैचों से कितने पैकेट बनाए जा सकते हैं।

इस अगले उदाहरण में, ‘मुझे 30 क्रेयॉन चाहिए। प्रत्येक पैक में 5 क्रेयॉन होते हैं। मुझे कितने पैक खरीदने चाहिए?’

कुल संख्या बड़ी संख्या है, जो 30 है।

We are buying the crayons in equal groups of 5.

We need to work out how many groups we need. How many fives make 30?

We need to work out how many fives go into 30.

30 ÷ 5 = 6 and so, we need 6 packs.

We can check out answer. 6 lots of 5 make the 30 crayons needed because 6 × 5 = 30.

In this example we needed to find the number of groups required. So we divided the total by the number in each group.

In this example, ‘I have 21 chairs. I will arrange the chairs in rows of 7.How many rows should I make?’

Here we have the total number of chairs, which is 21.

We are arranging them into rows of 7, so each group contains 7 chairs.

We want to find the number of rows that we can make. We want to work out how many rows of 7 can be made from 21 chairs. This is how many times 7 goes into 21.

21 ÷ 7 = 3 and so, we can make 3 rows.

We can see that each row is the same size. We can teach this by taking 21 counters and sharing them into 3 equal rows.

In this example involving money, ‘Shirts cost $11 and I have $66. How many shirts can I buy?’

We want to know how many elevens go into 66.

The total is $66 and we are dividing by 11.

We want to know how many times we can spend $11.

66 ÷ 11 = 6 and so, we can spend $11 six times.

Now try our lesson on Short Division without Remainders where we learn how to use the short division method to divide numbers.


वीडियो देखना: Reasoning रजनगPart-5For - RAILWAY NTPC, GROUP D, SSC CGL, CHSL, MTS, BANK u0026 ALL EXAMS (दिसंबर 2021).